Exercice 3

Quel que soit $w$, l'application $\langle \cdot, \cdot \rangle_{w}$ est symétrique, et linéaire par rapport à la première variable par linéarité de l'intégrale : elle est bilinéaire symétrique. Toute la question porte sur le caractère défini positif. On utilisera la fonction « chapeau » associée à un segment $[\alpha\,,\beta] \subset [0\,,1]$, avec $\alpha < \beta$, $$h(t) = (t - \alpha)(\beta - t) \ \text{ si } t \in [\alpha\,,\beta], \qquad h(t) = 0 \ \text{ sinon},$$ qui est continue sur $[0\,,1]$ (les deux expressions valent $0$ en $\alpha$ et en $\beta$), strictement positive sur $]\alpha\,,\beta[$ et nulle en dehors.

Condition nécessaire. Supposons que $\langle \cdot, \cdot \rangle_{w}$ est un produit scalaire.

• Si $w(t_{0}) < 0$ pour un $t_{0} \in [0\,,1]$, la continuité de $w$ en $t_{0}$ fournit un segment $[\alpha\,,\beta] \subset [0\,,1]$, avec $\alpha < \beta$ et $t_{0} \in [\alpha\,,\beta]$, sur lequel $w < 0$ (on prend $\varepsilon = \frac{|w(t_{0})|}{2}$ dans la définition de la continuité). La fonction $-h^{2}w$ est alors continue, positive, et non nulle au milieu de $[\alpha\,,\beta]$ : son intégrale est strictement positive (chapitre 18, théorème 4, sous forme contraposée). Ainsi $\langle h, h \rangle_{w} < 0$, ce qui contredit la positivité.

• Si $w$ est nulle sur un segment $[\alpha\,,\beta]$ avec $\alpha < \beta$, la fonction $h$ associée n'est pas nulle, et $h^{2}w$ est nulle partout, donc $\langle h, h \rangle_{w} = 0$, ce qui contredit le caractère défini.

Condition suffisante. Supposons $w \geqslant 0$, et que l'ensemble de ses zéros ne contient aucun segment non réduit à un point. Pour $f \in \mathcal{C}([0\,,1], \mathbb{R})$, la fonction $f^{2}w$ est continue et positive, donc $\langle f, f \rangle_{w} \geqslant 0$. Si $\langle f, f \rangle_{w} = 0$, le théorème 4 du chapitre 18 donne $f(t)^{2}w(t) = 0$ pour tout $t$ : $f$ est nulle en tout point où $w$ ne s'annule pas. Soit $t_{0} \in [0\,,1]$. Pour tout $k \geqslant 1$, le segment $J_{k} = \big[\max(0, t_{0} - \frac{1}{k})\,,\min(1, t_{0} + \frac{1}{k})\big]$ n'est pas réduit à un point, donc il n'est pas contenu dans l'ensemble des zéros de $w$ : il contient un point $t_{k}$ tel que $w(t_{k}) \neq 0$, d'où $f(t_{k}) = 0$. Comme $|t_{k} - t_{0}| \leqslant \frac{1}{k}$, la suite $(t_{k})$ tend vers $t_{0}$, et la continuité de $f$ donne $f(t_{0}) = \lim f(t_{k}) = 0$. Ainsi $f = 0$. $$\boxed{\langle \cdot, \cdot \rangle_{w} \text{ produit scalaire} \iff w \geqslant 0 \text{ et } w \text{ n'est nulle sur aucun segment } [\alpha\,,\beta],\ \alpha < \beta}$$ Comparaison avec la proposition 2. La proposition 2 demande que $w$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points : c'est une condition suffisante, plus simple à vérifier, mais pas nécessaire. Le poids défini par $w(t) = t^{2}\sin^{2}\Big(\frac{1}{t}\Big)$ pour $t \in \,]0\,,1]$ et $w(0) = 0$ est continu (il est majoré par $t^{2}$ en valeur absolue), positif, et s'annule en $0$ et en chacun des points $\frac{1}{k\pi}$, $k \geqslant 1$ : une infinité de zéros, mais aucun segment, puisque ces zéros sont isolés les uns des autres. L'exercice montre qu'il fournit pourtant un produit scalaire. La démonstration de la proposition 2 utilisait d'ailleurs exactement cet argument : chaque zéro de $w$ est limite de points où $w$ ne s'annule pas.