Exercice 4

1. On applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $\mathbb{R}^{n}$ (proposition 4 (i)) aux $n$-uplets $(x_{k})$ et $(2^{-k})$ : $$\Big(\sum_{k = 1}^{n} \frac{x_{k}}{2^{k}}\Big)^{2} \leqslant \Big(\sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{2}\Big)\Big(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{4^{k}}\Big).$$ La seconde somme est celle d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{4}$ (chapitre 3) : $$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{4^{k}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 4^{-n}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1 - 4^{-n}}{3} < \frac{1}{3}.$$

$$\boxed{\Big(\sum_{k = 1}^{n} \frac{x_{k}}{2^{k}}\Big)^{2} \leqslant \frac{1 - 4^{-n}}{3}\sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{2} \leqslant \frac{1}{3}\sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{2}}$$ La constante $\frac{1}{3}$ ne dépend pas de $n$ : c'est ce qui fait l'intérêt de l'énoncé, et c'est la somme de toute la suite géométrique, que la majoration par $\frac{1}{3}$ dispense de calculer exactement.

2. Le choix des deux vecteurs est dicté par la contrainte : on fait apparaître $2x^{2} + y^{2} + 5z^{2}$ comme le carré de la norme du premier, en écrivant $$x + y + z = \sqrt{2}x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + y \cdot 1 + \sqrt{5}z \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}.$$ La proposition 4 (i), appliquée à $(\sqrt{2}x, y, \sqrt{5}z)$ et $\Big(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1, \frac{1}{\sqrt{5}}\Big)$, donne $$(x + y + z)^{2} \leqslant (2x^{2} + y^{2} + 5z^{2})\Big(\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{5}\Big) \leqslant 1 \times \frac{17}{10}, \qquad \boxed{(x + y + z)^{2} \leqslant \frac{17}{10}}$$ La majoration ne peut pas être améliorée : il y a égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz lorsque $(\sqrt{2}x, y, \sqrt{5}z)$ est proportionnel à $\Big(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1, \frac{1}{\sqrt{5}}\Big)$, c'est-à-dire $(x, y, z) = c\Big(\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{5}\Big)$, et égalité dans la contrainte lorsque $2x^{2} + y^{2} + 5z^{2} = \frac{17c^{2}}{10} = 1$. Pour $c = \sqrt{\frac{10}{17}}$, $$\boxed{(x, y, z) = \sqrt{\frac{10}{17}}\,\Big(\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{5}\Big) : \quad 2x^{2} + y^{2} + 5z^{2} = 1, \quad (x + y + z)^{2} = \frac{10}{17} \cdot \frac{289}{100} = \frac{17}{10}}$$ À retenir. Le cas d'égalité du théorème 1 transforme une majoration en un maximum : $\frac{17}{10}$ est la plus grande valeur de $(x + y + z)^{2}$ sur l'ellipsoïde plein d'équation $2x^{2} + y^{2} + 5z^{2} \leqslant 1$. L'erreur la plus répandue est d'appliquer Cauchy-Schwarz à $(x, y, z)$ et $(1, 1, 1)$, ce qui fait apparaître $x^{2} + y^{2} + z^{2}$, que la contrainte ne contrôle pas bien.