Exercice 13

1. Par la proposition 3 (ii), pour tout réel $\lambda$, $$\lVert x + \lambda y \rVert^{2} - \lVert x \rVert^{2} = 2\lambda\langle x, y \rangle + \lambda^{2}\lVert y \rVert^{2}.$$ Si $\langle x, y \rangle = 0$, cette quantité vaut $\lambda^{2}\lVert y \rVert^{2} \geqslant 0$ pour tout $\lambda$. Réciproquement, supposons-la positive pour tout $\lambda$. Si $y = 0$, on a $\langle x, y \rangle = 0$. Sinon, on choisit $\lambda = -\frac{\langle x, y \rangle}{\lVert y \rVert^{2}}$, valeur qui minimise le trinôme, et l'on obtient $-\frac{\langle x, y \rangle^{2}}{\lVert y \rVert^{2}} \geqslant 0$, donc $\langle x, y \rangle = 0$. $$\boxed{x \perp y \iff \lVert x + \lambda y \rVert \geqslant \lVert x \rVert \quad \text{pour tout } \lambda \in \mathbb{R}}$$ Géométriquement, les vecteurs $x + \lambda y$ décrivent la droite $D$ passant par l'extrémité de $x$ et dirigée par $y$ ; $\lVert x + \lambda y \rVert$ est la distance de l'origine au point de paramètre $\lambda$. L'énoncé dit que ce point est le plus proche de l'origine pour $\lambda = 0$ si et seulement si $x$ est perpendiculaire à $D$ : la perpendiculaire est le plus court chemin d'un point à une droite.

Avec $x = (1, 2)$ et $y = (2, -1)$, orthogonaux, le point $x + 0{,}9y = (2{,}8\,; 1{,}1)$ de la droite $D$ est à la distance $\sqrt{9{,}05} \approx 3{,}01$ de l'origine, plus grande que $\lVert x \rVert = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ : c'est le théorème de Pythagore, $\lVert x + \lambda y \rVert^{2} = \lVert x \rVert^{2} + \lambda^{2}\lVert y \rVert^{2}$.

2. Si $F$ et $G$ sont orthogonaux, pour $u \in F$ et $v \in G$, le théorème de Pythagore donne $$\lVert u + v \rVert^{2} = \lVert u \rVert^{2} + \lVert v \rVert^{2} \geqslant \lVert u \rVert^{2}.$$ Réciproquement, supposons $\lVert u + v \rVert \geqslant \lVert u \rVert$ pour tous $u \in F$, $v \in G$. Soit $u \in F$ et $v \in G$ ; pour tout réel $\lambda$, le vecteur $\lambda v$ appartient au sous-espace $G$, donc $\lVert u + \lambda v \rVert \geqslant \lVert u \rVert$, et la question 1 donne $u \perp v$. $$\boxed{F \text{ et } G \text{ orthogonaux} \iff \lVert u + v \rVert \geqslant \lVert u \rVert \quad \text{pour tous } u \in F,\ v \in G}$$ Piège. La question 2 ne se réduit pas à la question 1 appliquée au seul couple $(u, v)$ : il faut tous les multiples $\lambda v$, et c'est parce que $G$ est un sous-espace qu'ils sont disponibles. Pour un couple isolé, l'inégalité n'entraîne rien : avec $u = (1, 0)$ et $v = (1, 1)$, on a $\lVert u + v \rVert = \sqrt{5} \geqslant 1 = \lVert u \rVert$, et pourtant $\langle u, v \rangle = 1$. Cette caractérisation par une distance minimale annonce le théorème 7 de meilleure approximation.