Exercice 14

1. La famille $(u, v, w)$ est libre, puisque son déterminant dans la base canonique vaut $1 \neq 0$ (chapitre 17). On applique le théorème 4. D'abord $\lVert u \rVert = \sqrt{2}$ et $u_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 0, 1)$. Ensuite $\langle v, u_{1} \rangle = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$, et $$v_{2} = v - \sqrt{2}\,u_{1} = (1, 1, 1) - (1, 0, 1) = (0, 1, 0), \qquad u_{2} = (0, 1, 0).$$ Enfin $\langle w, u_{1} \rangle = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $\langle w, u_{2} \rangle = -1$, d'où $$v_{3} = w + \frac{1}{\sqrt{2}}u_{1} + u_{2} = (-1, -1, 0) + \Big(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\Big) + (0, 1, 0) = \Big(-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\Big), \qquad \lVert v_{3} \rVert = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

$$\boxed{u_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 0, 1), \qquad u_{2} = (0, 1, 0), \qquad u_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1, 0, 1)}$$ On contrôle que $\langle u_{3}, u \rangle = 0$, $\langle u_{3}, v \rangle = 0$ et $\langle u_{3}, w \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0$ ✓, conformément au théorème 4.

2. On cherche d'abord une base de $F$ en résolvant le système : la seconde équation donne $y = x + z$, la première $t = -x - z$, donc $$F = \big\{(x, x + z, z, -x - z) \mid x, z \in \mathbb{R}\big\} = \mathrm{Vect}(f_{1}, f_{2}), \qquad f_{1} = (1, 1, 0, -1), \quad f_{2} = (0, 1, 1, -1).$$ On applique la méthode du cours, sans racine carrée : $w_{1} = f_{1}$, de norme $\sqrt{3}$, puis, avec $\langle f_{2}, f_{1} \rangle = 2$, $$w_{2} = f_{2} - \frac{2}{3}f_{1} = \Big(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1, -\frac{1}{3}\Big) = \frac{1}{3}(-2, 1, 3, -1).$$ On contrôle $\langle (-2, 1, 3, -1), f_{1} \rangle = -2 + 1 + 0 + 1 = 0$ ✓, et que $(-2, 1, 3, -1)$ vérifie les deux équations de $F$. Il reste à normaliser, avec $\lVert (-2, 1, 3, -1) \rVert = \sqrt{15}$ : $$\boxed{\Big(\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 0, -1),\ \frac{1}{\sqrt{15}}(-2, 1, 3, -1)\Big) \text{ est une base orthonormée de } F}$$ Piège. La réponse dépend de la base de départ : partir de $(-1, 0, 1, 0)$ et $(-1, -1, 0, 1)$ conduit à $\frac{1}{\sqrt{2}}(-1, 0, 1, 0)$ et $\frac{1}{\sqrt{10}}(-1, -2, -1, 2)$, qui conviennent tout autant. Un sous-espace de dimension au moins $2$ possède une infinité de bases orthonormées ; c'est seulement à base de départ fixée que le théorème 4 donne l'unicité.