Exercice 12

1. Notons $a = (1, -1, 2, 1)$ et $b = (-1, 2, 3, -1)$ : les équations de $F$ s'écrivent $\langle a, x \rangle = 0$ et $\langle b, x \rangle = 0$, donc $F = \{a, b\}^{\perp}$, et $a$, $b$ sont orthogonaux à tout vecteur de $F$ : $\mathrm{Vect}(a, b) \subset F^{\perp}$. Inversement, les vecteurs $a$ et $b$ ne sont pas colinéaires, donc le système est de rang $2$, et $\dim F = 4 - 2 = 2$ (chapitre 15, proposition 9). Comme la somme $F + F^{\perp}$ est directe (proposition 5 (iv)), la formule de Grassmann (chapitre 15, théorème 7) donne $\dim F + \dim F^{\perp} \leqslant 4$, donc $\dim F^{\perp} \leqslant 2 = \dim \mathrm{Vect}(a, b)$, et l'inclusion est une égalité (chapitre 15, théorème 5). $$\boxed{F^{\perp} = \mathrm{Vect}\big((1, -1, 2, 1), (-1, 2, 3, -1)\big), \quad \text{de base } \big((1, -1, 2, 1), (-1, 2, 3, -1)\big)}$$ Les coefficients des équations de $F$ fournissent directement une base de $F^{\perp}$ : c'est le premier exemple qui suit la proposition 5, qui lisait l'équation d'un hyperplan comme une condition d'orthogonalité.

2. Par la proposition 5 (ii), $G^{\perp}$ est l'orthogonal des deux vecteurs générateurs : un vecteur $(x, y, z, t)$ appartient à $G^{\perp}$ si et seulement si $$\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 0 \\ 2x + y + z - t = 0 \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} y = -x - z \\ t = x \end{array} \right. \iff (x, y, z, t) = x(1, -1, 0, 1) + z(0, -1, 1, 0).$$

$$\boxed{G^{\perp} = \mathrm{Vect}\big((0, -1, 1, 0), (1, -1, 0, 1)\big)}$$ Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, et l'on contrôle qu'ils sont orthogonaux à $(1, 1, 1, 0)$ et à $(2, 1, 1, -1)$ ✓.

3. On procède en sens inverse de la question 1 : on cherche d'abord une base de $H$, dont les vecteurs fourniront les équations de $H^{\perp}$. Par soustraction des deux équations, $y + 4z = 0$, puis $x = -y + z - t = 5z - t$ : $$(x, y, z, t) \in H \iff (x, y, z, t) = z(5, -4, 1, 0) + t(-1, 0, 0, 1), \qquad H = \mathrm{Vect}\big((5, -4, 1, 0), (-1, 0, 0, 1)\big).$$ Par la proposition 5 (ii), $H^{\perp}$ est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à ces deux générateurs : $$\boxed{H^{\perp} : \ \left\{ \begin{array}{l} 5x - 4y + z = 0 \\ -x + t = 0 \end{array} \right.}$$ Par la question 1, $H^{\perp} = \mathrm{Vect}\big((1, 1, -1, 1), (1, 2, 3, 1)\big)$, et ces deux vecteurs vérifient bien les deux équations : $5 - 4 - 1 = 0$, $-1 + 1 = 0$, $5 - 8 + 3 = 0$ et $-1 + 1 = 0$ ✓.

À retenir. Le passage à l'orthogonal échange les deux descriptions d'un sous-espace : des équations de $F$ on lit une famille génératrice de $F^{\perp}$, et d'une famille génératrice de $F$ on lit des équations de $F^{\perp}$. L'erreur la plus répandue est de recopier les équations de $H$ comme équations de $H^{\perp}$ : ce sont les coordonnées de vecteurs de $H^{\perp}$, et non des équations.