Exercice 31

1. L'application $\varphi : P \mapsto \int_{0}^{1} P(t)\,\mathrm{d} t$ est une forme linéaire sur $\mathbb{R}_{n}[X]$ (chapitre 18, théorème 3), non nulle puisque $\varphi(1) = 1$. Son noyau $H$ est un hyperplan de $\mathbb{R}_{n}[X]$, qui est de dimension $n + 1$ (chapitre 15, théorème 12). $$\boxed{H = \mathrm{Ker}\,\varphi \text{ est un sous-espace de } \mathbb{R}_{n}[X], \qquad \dim H = n}$$

2. La droite $\mathbb{R}_{0}[X]$ des polynômes constants n'est pas contenue dans $H$, puisque $1 \notin H$ : par le théorème 7 du chapitre 14, $\mathbb{R}_{n}[X] = \mathbb{R}_{0}[X] \oplus H$. La décomposition de $P$ s'écrit explicitement : la constante $c = \int_{0}^{1} P$ vérifie $\int_{0}^{1} (P - c) = c - c = 0$, donc $P = c + (P - c)$ avec $c \in \mathbb{R}_{0}[X]$ et $P - c \in H$. $$\boxed{p(P) = \int_{0}^{1} P(t)\,\mathrm{d} t \quad \text{(polynôme constant)}}$$

3. On munit $\mathbb{R}_{n}[X]$ du produit scalaire $\langle P, Q \rangle = \int_{0}^{1} PQ$ (proposition 2 (ii), restreinte à $\mathbb{R}_{n}[X]$). Pour lui, $H = \{P \mid \langle P, 1 \rangle = 0\} = \mathbb{R}_{0}[X]^{\perp}$ : le projecteur sur $\mathbb{R}_{0}[X]$ parallèlement à $H$ est le projecteur sur $\mathbb{R}_{0}[X]$ parallèlement à $\mathbb{R}_{0}[X]^{\perp}$, c'est-à-dire la projection orthogonale sur $\mathbb{R}_{0}[X]$. $$\boxed{\langle P, Q \rangle = \int_{0}^{1} P(t)Q(t)\,\mathrm{d} t}$$ La proposition 10 (i) le confirme : $\lVert 1 \rVert = 1$, et le projeté de $P$ sur $\mathrm{Vect}(1)$ est $\langle P, 1 \rangle\,1 = \int_{0}^{1} P$. ✓ La réponse n'est pas unique : tout produit scalaire pour lequel $1$ est orthogonal à $H$ convient. Ainsi la projection orthogonale sur une droite calcule une moyenne, et le choix du produit scalaire décide de laquelle.