Exercice 49

1. Faux. Dans $\mathbb{R}^{2}$ muni du produit canonique, les vecteurs $x = (1, 0)$, $y = (0, 1)$ et $z = (1, -1)$ ont pour somme $(2, 0)$, et $\lVert (2, 0) \rVert^{2} = 4 = 1 + 1 + 2$, alors que $\langle x, z \rangle = 1 \neq 0$. C'est l'exemple de la remarque qui suit le théorème 3 : la somme des doubles produits, ici $0 + 2 - 2$, est nulle sans que chacun le soit. La réciproque du théorème de Pythagore ne vaut que pour deux vecteurs.

2. Vrai. Par bilinéarité et symétrie, $\langle x + y, x - y \rangle = \lVert x \rVert^{2} - \lVert y \rVert^{2} = 0$. Géométriquement, les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.

3. Faux. La formule est bilinéaire, symétrique et positive, mais pas définie : l'indicatrice $f$ de $\{0\}$ est continue par morceaux, non nulle, et $\int_{0}^{1} f^{2} = 0$ (chapitre 18, proposition 6). C'est la première remarque qui suit la proposition 2.

4. Vrai. L'égalité entraîne $|\langle x, y \rangle| = \lVert x \rVert\,\lVert y \rVert$, cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (théorème 1) : la famille $(x, y)$ est liée, et comme $x \neq 0$, il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $y = \lambda x$. Alors $\lambda\lVert x \rVert^{2} = \langle x, \lambda x \rangle = \lVert x \rVert\,\lVert \lambda x \rVert = |\lambda|\lVert x \rVert^{2}$, d'où $\lambda = |\lambda| \geqslant 0$. C'est l'argument du cas d'égalité de l'inégalité triangulaire (théorème 2).

5. Vrai. Pour deux réels $a$, $b$, on a $ab \leqslant \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$, puisque $(a - b)^{2} \geqslant 0$. Avec $a = \lVert x + y \rVert$, $b = \lVert x - y \rVert$ et l'identité du parallélogramme (proposition 3 (iv)), $$\lVert x + y \rVert\,\lVert x - y \rVert \leqslant \frac{\lVert x + y \rVert^{2} + \lVert x - y \rVert^{2}}{2} = \lVert x \rVert^{2} + \lVert y \rVert^{2}.$$ Il y a égalité si et seulement si $\lVert x + y \rVert = \lVert x - y \rVert$, c'est-à-dire si $x \perp y$ : parmi les parallélogrammes de côtés donnés, le rectangle est celui dont le produit des diagonales est maximal.

6. Faux. Dans $\mathbb{R}^{2}$, soit $e_{1} = (1, 0)$ et $e_{2} = (1, 1)$. L'algorithme appliqué à $(e_{1}, e_{2})$ donne $u_{1} = (1, 0)$, puis $v_{2} = e_{2} - \langle e_{2}, u_{1} \rangle u_{1} = (0, 1)$ et $u_{2} = (0, 1)$. Appliqué à $(e_{2}, e_{1})$, il donne $u'_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)$, puis $v'_{2} = e_{1} - \frac{1}{\sqrt{2}}u'_{1} = \frac{1}{2}(1, -1)$ et $u'_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)$. Les deux bases orthonormées sont différentes, même à l'ordre près : le premier vecteur fourni par l'algorithme est toujours le premier vecteur de départ normalisé, et la famille obtenue dépend de l'ordre.

7. Vrai. Soit $x \in E$. Le vecteur $x - p_{G}(x)$ appartient à $G^{\perp}$, qui est inclus dans $F^{\perp}$ puisque $F \subset G$ (proposition 5 (ii)). Comme $F^{\perp} = \mathrm{Ker}\, p_{F}$, on a $$p_{F}(x) = p_{F}\big(p_{G}(x)\big) + p_{F}\big(x - p_{G}(x)\big) = p_{F}\big(p_{G}(x)\big).$$ Projeter d'abord sur le grand sous-espace, puis sur le petit, revient à projeter directement sur le petit. On a aussi $p_{G} \circ p_{F} = p_{F}$, puisque $p_{F}(x) \in F \subset G$ est laissé fixe par $p_{G}$.

8. Faux. Dans $\mathbb{R}[X]$ muni du produit scalaire $\sum_{k} a_{k}b_{k}$ sur les coefficients, l'hyperplan $H$ des polynômes $P$ tels que $P(1) = 0$ vérifie $H^{\perp} = \{0\}$. Son double orthogonal est donc $\mathbb{R}[X]$ tout entier, qui n'est pas égal à $H$ : c'est la remarque qui suit la proposition 11. L'exercice 39 en donne un autre exemple dans $\mathcal{C}([0\,,1], \mathbb{R})$. L'égalité est vraie si $F$ est de dimension finie (proposition 10 (iii)), en particulier si $E$ est euclidien.

9. Vrai. Soit $H$ un hyperplan de $E$, de dimension $n$. Par la proposition 11, $\dim H^{\perp} = n - (n - 1) = 1$. Deux vecteurs non nuls orthogonaux à $H$ appartiennent à la droite $H^{\perp}$, donc sont colinéaires : c'est l'unicité du vecteur normal, à un facteur près, de la proposition 12.

10. Vrai. Soit $A$ la famille génératrice. Par la proposition 5 (ii) et (iii), $$x \in A^{\perp} = (\mathrm{Vect} A)^{\perp} = E^{\perp} = \{0\}.$$ Le caractère éventuellement infini de la famille ne gêne pas, puisque $\mathrm{Vect} A$ est formé de combinaisons linéaires finies. $$\boxed{\text{Vrai : } 2, 4, 5, 7, 9, 10 ; \qquad \text{Faux : } 1, 3, 6, 8}$$ Piège. Les assertions 1 et 8 sont fausses pour la même raison de fond : une propriété vraie dans un cadre restreint, deux vecteurs pour Pythagore, la dimension finie pour le double orthogonal, ne s'étend pas d'elle-même. L'assertion 3 rappelle que le caractère défini dépend de l'espace : la même formule est un produit scalaire sur les fonctions continues, et n'en est pas un sur les fonctions continues par morceaux.