Exercice 9

1. Soit $X = {(x_{0}, \dots, x_{n})}^{T}$. En développant le produit matriciel, puis par linéarité de l'intégrale, $${X}^{T}H_{n}X = \sum_{i = 0}^{n}\sum_{j = 0}^{n} x_{i}x_{j}s_{i + j} = \int_{0}^{1} \sum_{i = 0}^{n}\sum_{j = 0}^{n} x_{i}x_{j}t^{i + j}f(t)\,\mathrm{d} t = \int_{0}^{1} \Big(\sum_{i = 0}^{n} x_{i}t^{i}\Big)^{2}f(t)\,\mathrm{d} t.$$ La fonction intégrée est continue et positive, puisque $f \geqslant 0$. $$\boxed{{X}^{T}H_{n}X = \int_{0}^{1} P(t)^{2}f(t)\,\mathrm{d} t \geqslant 0, \qquad P = \sum_{i = 0}^{n} x_{i}X^{i}}$$ Autrement dit, $H_{n}$ est la matrice des $\langle X^{i}, X^{j} \rangle$ pour l'application bilinéaire, symétrique et positive $$(P, Q) \longmapsto \int_{0}^{1} P(t)Q(t)f(t)\,\mathrm{d} t.$$

2. Soit $p$, $q \in \mathbb{N}$. Si $p = q$, l'inégalité est une égalité. Sinon, on prend $n = \max(p, q)$ et la colonne $X$ dont la coordonnée d'indice $p$ vaut $\lambda \in \mathbb{R}$, celle d'indice $q$ vaut $1$, et les autres sont nulles. La question 1 donne $${X}^{T}H_{n}X = \lambda^{2}s_{2p} + 2\lambda s_{p + q} + s_{2q} \geqslant 0 \qquad \text{pour tout réel } \lambda.$$ Si $s_{2p} > 0$, c'est un trinôme du second degré de signe constant : son discriminant est négatif ou nul, $4s_{p + q}^{2} - 4s_{2p}s_{2q} \leqslant 0$. Si $s_{2p} = 0$, la fonction affine $\lambda \mapsto 2\lambda s_{p + q} + s_{2q}$ est positive sur $\mathbb{R}$, donc constante, et $s_{p + q} = 0$ : l'inégalité est encore vraie. $$\boxed{s_{p + q}^{2} \leqslant s_{2p}\,s_{2q}}$$ C'est la démonstration du théorème 1 du cours, refaite sur la matrice $H_{n}$. Directement : la fonction $\sqrt{f}$ est continue sur $[0\,,1]$, et la proposition 4 (ii), appliquée aux fonctions $t \mapsto t^{p}\sqrt{f(t)}$ et $t \mapsto t^{q}\sqrt{f(t)}$, donne $$s_{p + q}^{2} = \Big(\int_{0}^{1} t^{p}\sqrt{f(t)} \cdot t^{q}\sqrt{f(t)}\,\mathrm{d} t\Big)^{2} \leqslant \int_{0}^{1} t^{2p}f(t)\,\mathrm{d} t \int_{0}^{1} t^{2q}f(t)\,\mathrm{d} t = s_{2p}\,s_{2q}.$$ Pour $f = 1$, on a $s_{k} = \frac{1}{k + 1}$, et l'inégalité s'écrit $(2p + 1)(2q + 1) \leqslant (p + q + 1)^{2}$, c'est-à-dire $0 \leqslant (p - q)^{2}$ ✓.

À retenir. Lorsque $f$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points, $(P, Q) \mapsto \int_{0}^{1} PQf$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$ (proposition 2) et l'inégalité de la question 1 est stricte pour $X \neq 0$. Pour $f = 1$, $H_{n}$ est la matrice de Hilbert $\Big(\frac{1}{i + j + 1}\Big)$, dont l'exercice 27 exploitera ce point de vue.