Exercice 10

1. Par l'inégalité triangulaire (théorème 2) et l'homogénéité de la norme, $$\lVert (1 - t)x + ty \rVert \leqslant (1 - t)\lVert x \rVert + t\lVert y \rVert \leqslant (1 - t) + t = 1.$$ Supposons qu'il y ait égalité. La seconde inégalité est alors une égalité, et, comme $1 - t > 0$ et $t > 0$, cela impose $\lVert x \rVert = \lVert y \rVert = 1$. La première est aussi une égalité : par le cas d'égalité du théorème 2, appliqué aux vecteurs $(1 - t)x \neq 0$ et $ty$, il existe un réel $\lambda \geqslant 0$ tel que $ty = \lambda(1 - t)x$, donc $y = \mu x$ avec $\mu \geqslant 0$. Comme $\lVert y \rVert = \lVert x \rVert = 1$, on obtient $\mu = 1$ et $y = x$, ce qui est exclu. $$\boxed{\lVert (1 - t)x + ty \rVert < 1}$$ Géométriquement, les points $(1 - t)x + ty$, pour $t \in \,]0\,,1[$, décrivent le segment ouvert d'extrémités $x$ et $y$. La boule unité fermée est donc strictement convexe : tout segment joignant deux de ses points est contenu, extrémités exceptées, dans la boule ouverte $\{z \mid \lVert z \rVert < 1\}$, et la sphère unité ne contient aucun segment.

À gauche, la boule unité de la norme euclidienne de $\mathbb{R}^{2}$ : le milieu de deux points du cercle est strictement à l'intérieur. À droite, celle de la norme $N(x) = \max(|x_{1}|, |x_{2}|)$, qui est un carré : le segment joignant $x = (1, 0{,}6)$ et $y = (1, -0{,}6)$ reste sur le bord, ce qui interdit à $N$ de dériver d'un produit scalaire. C'est l'argument de la question 2.

2. Pour $f$ continue sur le segment $[0\,,1]$, la fonction $|f|$ est continue et atteint son maximum (chapitre 8, théorème 10) : $N_{\infty}(f)$ est un réel positif bien défini. Si $N_{\infty}(f) = 0$, alors $|f(t)| \leqslant 0$ pour tout $t$, et $f = 0$. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, $|\lambda f(t)| = |\lambda|\,|f(t)|$ et le maximum de $|\lambda|\,|f|$ est $|\lambda|N_{\infty}(f)$. Enfin, pour tout $t$, $$|f(t) + g(t)| \leqslant |f(t)| + |g(t)| \leqslant N_{\infty}(f) + N_{\infty}(g),$$ et, en prenant pour $t$ un point où $|f + g|$ atteint son maximum, $N_{\infty}(f + g) \leqslant N_{\infty}(f) + N_{\infty}(g)$. $$\boxed{N_{\infty} \text{ est une norme sur } \mathcal{C}([0\,,1], \mathbb{R})}$$ Soit $f = 1$ et $g : t \mapsto t$. Ces deux fonctions sont distinctes, $N_{\infty}(f) = N_{\infty}(g) = 1$, et, pour $t = \frac{1}{2}$, la fonction $\frac{1}{2}f + \frac{1}{2}g : t \mapsto \frac{1 + t}{2}$ a pour maximum $1$, atteint en $t = 1$. Si $N_{\infty}$ dérivait d'un produit scalaire, la question 1 donnerait $N_{\infty}\Big(\frac{f + g}{2}\Big) < 1$ : contradiction. $$\boxed{N_{\infty} \text{ ne dérive pas d'un produit scalaire}}$$ On peut aussi le voir par l'identité du parallélogramme (proposition 3 (iv)), qui est en défaut : $$N_{\infty}(f + g)^{2} + N_{\infty}(f - g)^{2} = 4 + 1 = 5 \neq 4 = 2N_{\infty}(f)^{2} + 2N_{\infty}(g)^{2}.$$

3. $N_{1}$ est une norme. Pour $P \in \mathbb{R}[X]$, la fonction $|P|$ est continue sur $[a\,,b]$ et positive, donc $N_{1}(P) \geqslant 0$. Si $N_{1}(P) = 0$, le théorème 4 du chapitre 18 montre que $P$ s'annule en tout point de $[a\,,b]$ : il a une infinité de racines, donc il est nul (chapitre 13, théorème 3). L'homogénéité vient de la linéarité de l'intégrale, et l'inégalité triangulaire de $|P + Q| \leqslant |P| + |Q|$ et de la croissance de l'intégrale.

$N_{1}$ ne dérive pas d'un produit scalaire. Si c'était le cas, elle vérifierait l'identité du parallélogramme (proposition 3 (iv)). Prenons $P = 1$ et le polynôme $Q = \frac{2X - a - b}{b - a}$, qui croît de $-1$ à $1$ sur $[a\,,b]$ et s'annule au milieu. Les fonctions $|Q|$, $1 + Q = \frac{2(X - a)}{b - a}$ et $1 - Q = \frac{2(b - X)}{b - a}$ sont positives et affines par morceaux sur $[a\,,b]$ ; leurs intégrales sont des aires de triangles : $$N_{1}(1) = b - a, \qquad N_{1}(Q) = 2 \times \frac{1}{2} \cdot \frac{b - a}{2} \cdot 1 = \frac{b - a}{2}, \qquad N_{1}(1 + Q) = N_{1}(1 - Q) = \frac{1}{2}(b - a) \times 2 = b - a.$$

$$\boxed{N_{1}(P + Q)^{2} + N_{1}(P - Q)^{2} = 2(b - a)^{2} \neq \frac{5}{2}(b - a)^{2} = 2N_{1}(P)^{2} + 2N_{1}(Q)^{2}}$$ La norme du maximum. Notons $N(P) = \max_{[a, b]} |P|$, bien défini par le théorème des bornes atteintes. Les arguments de la question 2 montrent l'homogénéité et l'inégalité triangulaire, et $N(P) = 0$ entraîne que $P$ s'annule sur $[a\,,b]$, donc que $P = 0$, comme pour $N_{1}$. Avec les mêmes $P$ et $Q$, on a $N(P) = N(Q) = 1$ et $N(P + Q) = N(P - Q) = 2$, donc $$\boxed{N(P + Q)^{2} + N(P - Q)^{2} = 8 \neq 4 = 2N(P)^{2} + 2N(Q)^{2}}$$ et $N$ est une norme sur $\mathbb{R}[X]$ qui ne dérive pas d'un produit scalaire.

Piège. Sur $\mathbb{R}[X]$, c'est le théorème 3 du chapitre 13 qui rend $N_{1}$ et $N$ définies : un polynôme est déterminé par ses valeurs sur un segment. Sur l'espace de toutes les fonctions continues par morceaux, $N_{1}$ ne serait plus définie, pour la même raison qu'à la remarque qui suit la proposition 2. L'identité du parallélogramme est une condition nécessaire pour qu'une norme dérive d'un produit scalaire ; l'exercice suivant montre qu'elle est suffisante.