Exercice 8

L'application est symétrique, puisque l'échange de $f$ et $g$ échange les deux termes $f(1)g(0)$ et $f(0)g(1)$ ; elle est linéaire par rapport à $f$, par linéarité de la dérivation, de l'évaluation et de l'intégrale. Pour $f \in \mathcal{C}^{1}([0\,,1], \mathbb{R})$, $$\langle f, f \rangle = \int_{0}^{1} f'^{2} + 2f(0)f(1).$$ Piège. Le terme $2f(0)f(1)$ peut être négatif : la positivité n'est pas évidente, et l'erreur la plus répandue est de l'affirmer en invoquant la seule positivité de l'intégrale. Il faut minorer $\int_{0}^{1} f'^{2}$ à l'aide de $f(0)$ et $f(1)$.

Par le théorème fondamental de l'analyse, $\int_{0}^{1} f' = f(1) - f(0)$, et l'inégalité de Cauchy-Schwarz (proposition 4 (ii)), appliquée à $1$ et $f'$, donne $$\big(f(1) - f(0)\big)^{2} = \Big(\int_{0}^{1} 1 \cdot f'\Big)^{2} \leqslant \int_{0}^{1} 1 \cdot \int_{0}^{1} f'^{2} = \int_{0}^{1} f'^{2}.$$ Par conséquent, $$\boxed{\langle f, f \rangle \geqslant \big(f(1) - f(0)\big)^{2} + 2f(0)f(1) = f(0)^{2} + f(1)^{2} \geqslant 0}$$ Si $\langle f, f \rangle = 0$, on a $f(0) = f(1) = 0$, puis $\langle f, f \rangle = \int_{0}^{1} f'^{2} = 0$ ; la fonction $f'^{2}$, continue, positive, d'intégrale nulle, est nulle (chapitre 18, théorème 4), donc $f$ est constante, égale à $f(0) = 0$. $$\boxed{\langle f, g \rangle = \int_{0}^{1} f'g' + f(1)g(0) + f(0)g(1) \ \text{ est un produit scalaire sur } \mathcal{C}^{1}([0\,,1], \mathbb{R})}$$ Pour $f(t) = 2t - 1$, on trouve $\langle f, f \rangle = 4 - 2 = 2 = f(0)^{2} + f(1)^{2}$ ✓ : la minoration est atteinte, parce que $f'$ est constante, donc proportionnelle à $1$ (cas d'égalité de Cauchy-Schwarz). L'exercice 2 (a) traitait un produit du même type, où la positivité était immédiate ; ici, c'est Cauchy-Schwarz qui la fournit.