Exercice 42

On munit $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ du produit scalaire canonique $\langle X, Y \rangle = {X}^{T}Y$ (proposition 1).

1. Comme $A^{2} = A$, l'endomorphisme $X \mapsto AX$ est un projecteur, d'image $\mathrm{Im}\, A$ et de noyau $\mathrm{Ker}\, A$.

Supposons $A$ symétrique. Soit $X \in \mathrm{Ker}\, A$ et $Y = AZ \in \mathrm{Im}\, A$. Par la règle ${(AX)}^{T} = {X}^{T}{A}^{T}$ (chapitre 16, proposition 5), $$\langle X, AZ \rangle = {X}^{T}AZ = {X}^{T}{A}^{T}Z = {(AX)}^{T}Z = 0,$$ donc $\mathrm{Ker}\, A$ et $\mathrm{Im}\, A$ sont orthogonaux.

Réciproquement, supposons $\mathrm{Ker}\, A$ et $\mathrm{Im}\, A$ orthogonaux. Pour toute colonne $X$, le vecteur $(I_{n} - A)X$ appartient à $\mathrm{Ker}\, A$, puisque $A(I_{n} - A) = A - A^{2} = 0$. Pour toutes colonnes $X$ et $Y$, on a donc $$0 = \langle (I_{n} - A)X, AY \rangle = {X}^{T}\,{(I_{n} - A)}^{T}A\,Y.$$ En prenant pour $X$ et $Y$ les colonnes $E_{i}$ et $E_{j}$ de la base canonique, on lit le coefficient d'indice $(i, j)$ de la matrice ${(I_{n} - A)}^{T}A$ : elle est nulle. Ainsi $A = {A}^{T}A$, et cette matrice est symétrique, puisque ${({A}^{T}A)}^{T} = {A}^{T}A$. $$\boxed{\text{si } A^{2} = A : \quad A \text{ est un projecteur orthogonal} \iff {A}^{T} = A}$$

2. Soit $F = \mathrm{Ker}\,(A - I_{n})$ et $G = \mathrm{Ker}\,(A + I_{n})$, supplémentaires par le théorème 6 du chapitre 14. On pose $P = \frac{1}{2}(A + I_{n})$, de sorte que $$P^{2} = \frac{1}{4}\big(A^{2} + 2A + I_{n}\big) = \frac{1}{4}(2A + 2I_{n}) = P.$$ C'est un projecteur, de noyau $\mathrm{Ker}\,(A + I_{n}) = G$ et d'image $\mathrm{Ker}\,(P - I_{n}) = \mathrm{Ker}\,\big(\frac{1}{2}(A - I_{n})\big) = F$ (chapitre 14, théorème 5). La symétrie $A$ est donc orthogonale si et seulement si le projecteur $P$ l'est, c'est-à-dire, par la question 1, si et seulement si $P$ est symétrique. Comme $A = 2P - I_{n}$ et que $I_{n}$ est symétrique, cela équivaut à la symétrie de $A$. $$\boxed{\text{si } A^{2} = I_{n} : \quad A \text{ est une symétrie orthogonale} \iff {A}^{T} = A}$$

On contrôle sur deux exemples : $$A_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad A_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$ La matrice $A_{1}$ vérifie $A_{1}^{2} = I_{2}$ sans être symétrique, et la symétrie n'est pas orthogonale : $F = \mathrm{Vect}(E_{1})$, $G = \mathrm{Vect}\big((-1, 2)\big)$, et $\langle E_{1}, (-1, 2) \rangle = -1 \neq 0$ ✓. La matrice $A_{2}$, symétrique, est la symétrie orthogonale par rapport à la droite $\mathrm{Vect}\big((1, 1)\big)$, parallèlement à la droite perpendiculaire $\mathrm{Vect}\big((1, -1)\big)$.

Piège. Le mot « symétrique » a ici deux sens, qu'il ne faut pas confondre : une matrice symétrique vérifie ${A}^{T} = A$, une symétrie vérifie $A^{2} = I_{n}$. L'exercice dit que, pour une symétrie, la propriété géométrique « être orthogonale » équivaut à la propriété matricielle « être symétrique ». Une symétrie orthogonale vérifie alors ${A}^{T}A = A^{2} = I_{n}$ : ses colonnes forment une base orthonormée, au sens de la remarque qui suit la proposition 9. Un projecteur orthogonal autre que $I_{n}$ ne la vérifie pas, puisque ${A}^{T}A = A \neq I_{n}$.