Exercice 43

Soit $r = \dim F$, que l'on suppose non nul ($F = \{0\}$ donne une somme nulle), et $(f_{1}, \dots, f_{r})$ une base orthonormée de $F$, qui existe par le théorème 5. La proposition 10 (iv) donne, pour chaque $j$, $$\lVert p_{F}(e_{j}) \rVert^{2} = \sum_{k = 1}^{r} \langle e_{j}, f_{k} \rangle^{2}.$$ On somme sur $j$ et l'on échange les deux sommes finies. Pour $k$ fixé, les réels $\langle f_{k}, e_{j} \rangle$ sont les coordonnées de $f_{k}$ dans la base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{n})$, et la proposition 8 donne $\sum_{j} \langle f_{k}, e_{j} \rangle^{2} = \lVert f_{k} \rVert^{2} = 1$ : $$\sum_{j = 1}^{n} \lVert p_{F}(e_{j}) \rVert^{2} = \sum_{k = 1}^{r}\ \sum_{j = 1}^{n} \langle f_{k}, e_{j} \rangle^{2} = \sum_{k = 1}^{r} 1, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\sum_{j = 1}^{n} \lVert p_{F}(e_{j}) \rVert^{2} = \dim F}$$ Le résultat ne dépend ni de la base orthonormée $(e_{j})$ choisie, ni de la position de $F$, mais seulement de sa dimension. Pour la droite $F = \mathrm{Vect}\big((1, 1, 1)\big)$ de $\mathbb{R}^{3}$, chaque $p_{F}(e_{j})$ vaut $\frac{1}{3}(1, 1, 1)$, de norme au carré $\frac{1}{3}$, et la somme vaut bien $1$ ✓.

À retenir. On peut aussi passer par la trace. Comme $e_{j} - p_{F}(e_{j})$ est orthogonal à $p_{F}(e_{j})$, on a $\lVert p_{F}(e_{j}) \rVert^{2} = \langle p_{F}(e_{j}), e_{j} \rangle$, qui est le coefficient diagonal d'indice $j$ de la matrice de $p_{F}$ dans la base orthonormée $(e_{j})$, par la proposition 8. La somme est donc $\operatorname{tr}(p_{F})$, qui vaut le rang du projecteur $p_{F}$, c'est-à-dire $\dim F$ (chapitre 16, proposition 15).