Exercice 38

1. Quels que soient les $a_{k}$, la formule est bilinéaire, symétrique, et $\langle P, P \rangle = \sum_{k} P(a_{k})^{2} \geqslant 0$ : seul le caractère défini est en jeu. Si les $a_{k}$ sont deux à deux distincts et si $\langle P, P \rangle = 0$, alors $P(a_{k}) = 0$ pour tout $k$ : le polynôme $P$, de degré au plus $n$, a $n + 1$ racines distinctes, donc il est nul (chapitre 13, théorème 3). Si au contraire $a_{i} = a_{j}$ pour deux indices $i \neq j$, l'ensemble $\{a_{0}, \dots, a_{n}\}$ a au plus $n$ éléments ; le produit $P$ des $X - a$, pour $a$ dans cet ensemble, est un polynôme non nul de degré au plus $n$, et $\langle P, P \rangle = 0$. $$\boxed{\langle \cdot, \cdot \rangle \text{ est un produit scalaire sur } \mathbb{R}_{n}[X] \iff a_{0}, \dots, a_{n} \text{ sont deux à deux distincts}}$$

2. Les polynômes d'interpolation de Lagrange (chapitre 13, théorème 13), $$L_{j} = \prod_{k \neq j} \frac{X - a_{k}}{a_{j} - a_{k}} \qquad (0 \leqslant j \leqslant n),$$ vérifient $L_{j}(a_{k}) = \delta_{jk}$, donc $\langle L_{i}, L_{j} \rangle = \sum_{k} \delta_{ik}\delta_{jk} = \delta_{ij}$. Cette famille orthonormée de $n + 1$ vecteurs de l'espace $\mathbb{R}_{n}[X]$, de dimension $n + 1$, en est une base orthonormée. $$\boxed{(L_{0}, \dots, L_{n}) \text{ est une base orthonormée de } \mathbb{R}_{n}[X]}$$ C'est l'exemple de la section 19.5 du cours, pour $n = 2$ ; la proposition 8 y redonne la formule d'interpolation $P = \sum_{j} P(a_{j})L_{j}$.

3. Pour tout $P$, $\sum_{k} P(a_{k}) = \sum_{k} P(a_{k}) \times 1 = \langle P, 1 \rangle$ : $F = \mathrm{Vect}(1)^{\perp}$ est l'hyperplan de vecteur normal le polynôme constant $1$, avec $\lVert 1 \rVert^{2} = n + 1$. La proposition 11 et la proposition 13 donnent : $$\boxed{F^{\perp} = \mathbb{R}_{0}[X], \qquad d(Q, F) = \frac{|\langle Q, 1 \rangle|}{\lVert 1 \rVert} = \frac{\big|\sum_{k = 0}^{n} Q(a_{k})\big|}{\sqrt{n + 1}}, \qquad d(X^{n}, F) = \frac{\big|\sum_{k = 0}^{n} a_{k}^{n}\big|}{\sqrt{n + 1}}}$$ Par exemple, pour $n = 2$ et $(a_{0}, a_{1}, a_{2}) = (0, 1, 2)$, on trouve $d(X^{2}, F) = \frac{0 + 1 + 4}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}$. ✓

Piège. Le même produit n'est pas un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$, ni sur $\mathbb{R}_{m}[X]$ pour $m > n$ : le polynôme $(X - a_{0}) \cdots (X - a_{n})$, non nul, y est de norme nulle. C'est la deuxième remarque qui suit la proposition 2 : l'espace sur lequel on travaille fait partie de la donnée.