Exercice 37

1. On intègre par parties (chapitre 6, proposition 4) le premier membre de la condition, en dérivant $t^{3} - t$ et en primitivant $P'$ : c'est le choix naturel, puisque $t^{3} - t$ s'annule en $0$ et en $1$, et que l'on veut faire apparaître $P$ seul. L'application $$\psi : P \longmapsto \int_{0}^{1} (t^{3} - t)P'(t)\,\mathrm{d} t - \int_{0}^{1} P(t)\,\mathrm{d} t$$ est linéaire, puisque la dérivation et l'intégrale le sont : $F = \mathrm{Ker}\,\psi$ est un sous-espace de $E$. $$\boxed{F = \mathrm{Ker}\,\psi \text{ est un sous-espace de } E}$$

2. L'intégration par parties annoncée donne, le crochet étant nul, $$\int_{0}^{1} (t^{3} - t)P'(t)\,\mathrm{d} t = \Big[(t^{3} - t)P(t)\Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (3t^{2} - 1)P(t)\,\mathrm{d} t = -\int_{0}^{1} (3t^{2} - 1)P(t)\,\mathrm{d} t,$$

$$\text{d'où}\qquad \psi(P) = -\int_{0}^{1} (3t^{2} - 1)P(t)\,\mathrm{d} t - \int_{0}^{1} P(t)\,\mathrm{d} t = -3\int_{0}^{1} t^{2}P(t)\,\mathrm{d} t = -3\langle P, X^{2} \rangle.$$ Ainsi $F = \mathrm{Vect}(X^{2})^{\perp}$ est un hyperplan de vecteur normal $X^{2}$, et la proposition 13 s'applique, avec $\lVert X^{2} \rVert^{2} = \int_{0}^{1} t^{4}\,\mathrm{d} t = \frac{1}{5}$ et $$\langle Q, X^{2} \rangle = \int_{0}^{1} (t^{2} + t^{3} + t^{4} + t^{5})\,\mathrm{d} t = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{19}{20}.$$

$$\boxed{d(Q, F) = \frac{|\langle Q, X^{2} \rangle|}{\lVert X^{2} \rVert} = \frac{19}{20}\sqrt{5} = \frac{19\sqrt{5}}{20} \approx 2{,}12}$$ Un calcul symbolique confirme que $\psi(P) = -3\langle P, X^{2} \rangle$ pour un polynôme $P$ de degré $3$ quelconque. ✓

Piège. Le vecteur normal à $F$ est $X^{2}$, et non $X^{3} - X$ ou $3X^{2} - 1$, qui apparaissent dans les calculs : il faut d'abord écrire la condition sous la forme $\langle P, N \rangle = 0$ pour lire le vecteur normal $N$.