Exercice 36

Les intégrales à calculer sont celles de polynômes, que l'on intègre par les primitives usuelles. On munit $E = \mathcal{C}([0\,,1], \mathbb{R})$ du produit scalaire $\langle f, g \rangle = \int_{0}^{1} fg$ (proposition 2), et l'on note $F = \mathrm{Vect}(1, x)$, de dimension $2$. Les hypothèses s'écrivent $\langle f, 1 \rangle = \langle f, x \rangle = 1$.

Le projeté de $f$ sur $F$. Par la proposition 10 (ii), $g = p_{F}(f)$ est l'unique élément de $F$ tel que $f - g$ soit orthogonal à $1$ et à $x$, c'est-à-dire tel que $\langle g, 1 \rangle = \langle g, x \rangle = 1$ : il est le même pour toutes les fonctions $f$ de l'énoncé. On cherche $g(x) = \alpha + \beta x$ : $$\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \frac{\beta}{2} = 1 \\[2mm] \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{3} = 1 \end{array} \right. \qquad\text{d'où}\qquad \beta = 6, \quad \alpha = -2, \qquad \boxed{g(x) = 6x - 2}$$ L'inégalité. On a $\lVert g \rVert^{2} = \int_{0}^{1} (36x^{2} - 24x + 4)\,\mathrm{d} x = 12 - 12 + 4 = 4$. Le théorème de Pythagore, appliqué à $f = g + (f - g)$, donne $\lVert f \rVert^{2} = 4 + \lVert f - g \rVert^{2}$ : $$\boxed{\int_{0}^{1} f(x)^{2}\,\mathrm{d} x = 4 + \int_{0}^{1} \big(f(x) - 6x + 2\big)^{2}\,\mathrm{d} x \geqslant 4}$$ Le cas d'égalité. Il y a égalité si et seulement si $\lVert f - g \rVert = 0$, c'est-à-dire $f = g$ ; et la fonction $g$ vérifie bien les deux conditions. $$\boxed{\text{égalité} \iff f(x) = 6x - 2 \text{ pour tout } x \in [0\,,1]}$$ On peut aussi conclure par l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $\langle f, g \rangle = 6\langle f, x \rangle - 2\langle f, 1 \rangle = 4$, donc $4 \leqslant \lVert f \rVert\,\lVert g \rVert = 2\lVert f \rVert$, avec égalité seulement si $f$ est proportionnelle à $g$. Par exemple, $f = g + h$ avec $h(x) = x^{2} - x + \frac{1}{6}$, orthogonale à $1$ et à $x$, vérifie les hypothèses et donne $\lVert f \rVert^{2} = 4 + \frac{1}{180}$. ✓

À retenir. Minimiser une norme sous des contraintes linéaires de la forme $\langle f, u_{i} \rangle = c_{i}$, c'est chercher le vecteur de plus petite norme d'un sous-espace affine : il appartient à $\mathrm{Vect}(u_{i})$, et il est orthogonal à la direction du sous-espace affine.