Exercice 35

(a) Toutes les intégrales à calculer sont celles de fonctions puissances $t \mapsto t^{\alpha}$, que l'on intègre par la primitive usuelle $\frac{t^{\alpha + 1}}{\alpha + 1}$. Dans $\mathcal{C}([0\,,1], \mathbb{R})$ muni de $\langle f, g \rangle = \int_{0}^{1} fg$, l'intégrale vaut $\lVert t - (a\sqrt{t} + b) \rVert^{2}$ : on cherche la distance de $t \mapsto t$ au plan $F = \mathrm{Vect}(\sqrt{t}, 1)$, la famille étant libre puisque $\sqrt{t}$ n'est pas constante. Par le théorème 7, la borne inférieure est atteinte pour un unique couple $(a, b)$, celui du projeté, caractérisé par les équations normales (proposition 10 (ii)). Avec $$\lVert \sqrt{t} \rVert^{2} = \frac{1}{2}, \quad \langle \sqrt{t}, 1 \rangle = \frac{2}{3}, \quad \lVert 1 \rVert^{2} = 1, \quad \langle t, \sqrt{t} \rangle = \frac{2}{5}, \quad \langle t, 1 \rangle = \frac{1}{2},$$ elles s'écrivent $$\left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{2} + \frac{2b}{3} = \frac{2}{5} \\[2mm] \frac{2a}{3} + b = \frac{1}{2} \end{array} \right. \qquad\text{d'où}\qquad a = \frac{6}{5}, \quad b = -\frac{3}{10}.$$ Par le théorème 7, le carré de la distance vaut $\lVert t \rVert^{2} - \lVert p_{F}(t) \rVert^{2} = \langle t, t - p_{F}(t) \rangle$, puisque $t - p_{F}(t)$ est orthogonal à $p_{F}(t)$ ; or $\langle t, p_{F}(t) \rangle = a\cdot\frac{2}{5} + b\cdot\frac{1}{2} = \frac{12}{25} - \frac{3}{20} = \frac{33}{100}$. $$\boxed{\inf_{(a, b) \in \mathbb{R}^{2}} \int_{0}^{1} \big(t - a\sqrt{t} - b\big)^{2}\,\mathrm{d} t = \frac{1}{3} - \frac{33}{100} = \frac{1}{300}, \quad \text{atteinte en } (a, b) = \Big(\frac{6}{5}, -\frac{3}{10}\Big) \text{ seulement}}$$ Le résultat est confirmé en minimisant directement le polynôme du second degré en $(a, b)$ par un calcul symbolique. ✓ L'exercice 47 retrouvera cette valeur comme quotient de deux déterminants de Gram.

(b) On calcule les produits scalaires $\int_{0}^{2\pi} t\cos t\,\mathrm{d} t$ et $\int_{0}^{2\pi} t\sin t\,\mathrm{d} t$ par une intégration par parties (chapitre 6, proposition 4), en dérivant $t$ : elle fait disparaître le facteur $t$. Dans $\mathcal{C}([0\,,2\pi], \mathbb{R})$ muni de $\langle f, g \rangle = \int_{0}^{2\pi} fg$, on cherche la distance de $t \mapsto t$ au plan $F = \mathrm{Vect}(\cos, \sin)$. L'exemple qui suit le théorème 3 donne une base orthogonale : $\langle \cos, \sin \rangle = 0$ et $\lVert \cos \rVert^{2} = \lVert \sin \rVert^{2} = \pi$. Les intégrations par parties donnent $$\langle t, \cos \rangle = \big[t\sin t\big]_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} \sin t\,\mathrm{d} t = 0, \qquad \langle t, \sin \rangle = \big[-t\cos t\big]_{0}^{2\pi} + \int_{0}^{2\pi} \cos t\,\mathrm{d} t = -2\pi.$$ Les fonctions $t\sin t + \cos t$ et $\sin t - t\cos t$ ont bien pour dérivées $t\cos t$ et $t\sin t$. ✓ La proposition 10 (i), sous sa forme adaptée aux bases orthogonales, donne $p_{F}(t) = \frac{0}{\pi}\cos + \frac{-2\pi}{\pi}\sin = -2\sin$, d'où $a = 0$ et $b = -2$. Avec $\lVert t \rVert^{2} = \int_{0}^{2\pi} t^{2}\,\mathrm{d} t = \frac{8\pi^{3}}{3}$ et $\lVert p_{F}(t) \rVert^{2} = 4\pi$, le théorème 7 donne $$\boxed{\inf_{(a, b) \in \mathbb{R}^{2}} \int_{0}^{2\pi} \big(t - a\cos t - b\sin t\big)^{2}\,\mathrm{d} t = \frac{8\pi^{3}}{3} - 4\pi \approx 70{,}1, \quad \text{atteinte en } (a, b) = (0, -2) \text{ seulement}}$$ La distance reste grande, du même ordre que $\lVert t \rVert^{2} \approx 82{,}7$ : une fonction qui croît de $0$ à $2\pi$ est mal approchée par des fonctions $2\pi$-périodiques, qui reprennent en $2\pi$ leur valeur en $0$.

Piège. Dans (a), la famille $(\sqrt{t}, 1)$ n'est pas orthogonale : appliquer la formule de la proposition 10 (i) sans résoudre le système est l'erreur la plus répandue. Dans (b), c'est au contraire l'orthogonalité de $\cos$ et $\sin$ qui dispense de tout système.