Exercice 34

1. Par la proposition 1 (ii), la somme est $\lVert M - S \rVert^{2}$ : il s'agit de calculer $d(M, \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}))^{2}$. Le sous-espace $\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})$ est de dimension finie, et l'exemple qui suit la proposition 11 en donne le projeté : $p_{\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})}(M) = \frac{1}{2}(M + {M}^{T})$, avec $M - p_{\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})}(M) = \frac{1}{2}(M - {M}^{T})$. Par le théorème 7 : $$\boxed{\inf_{S \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})} \sum_{i, j} (m_{ij} - s_{ij})^{2} = \frac{1}{4}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n} (m_{ij} - m_{ji})^{2} = \frac{1}{2}\sum_{i < j} (m_{ij} - m_{ji})^{2}}$$ La borne inférieure est un minimum, atteint pour la seule matrice $S = \frac{1}{2}(M + {M}^{T})$. Elle est nulle si et seulement si $M$ est symétrique, ce qui est cohérent.

2. On projette $M$ sur $F = \mathrm{Vect}(I_{n}, J)$, qui est un plan puisque $J$ n'est pas proportionnelle à $I_{n}$ pour $n \geqslant 2$. On a $\langle I_{n}, J \rangle = \operatorname{tr} J = n = \lVert I_{n} \rVert^{2}$, de sorte que $J - I_{n}$ est orthogonale à $I_{n}$ : la famille $(I_{n}, J - I_{n})$ est une base orthogonale de $F$, avec $\lVert J - I_{n} \rVert^{2} = n^{2} - 2n + n = n(n - 1)$. Par ailleurs, $\langle M, I_{n} \rangle = \operatorname{tr} M = 0$ et $\langle M, J - I_{n} \rangle = s - 0 = s$. La formule de la proposition 10 (i), adaptée aux bases orthogonales, donne $$p_{F}(M) = \frac{\langle M, I_{n} \rangle}{n}I_{n} + \frac{\langle M, J - I_{n} \rangle}{n(n - 1)}(J - I_{n}) = \frac{s}{n(n - 1)}(J - I_{n}), \qquad \lVert p_{F}(M) \rVert^{2} = \frac{s^{2}}{n(n - 1)}.$$ Par le théorème 7, $d(M, F)^{2} = \lVert M \rVert^{2} - \lVert p_{F}(M) \rVert^{2}$ : $$\boxed{\inf_{(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^{2}} \lVert M - \alpha I_{n} - \beta J \rVert = \sqrt{\sum_{i, j} m_{ij}^{2} - \frac{s^{2}}{n(n - 1)}}}$$ atteinte pour $\beta = -\alpha = \frac{s}{n(n - 1)}$ seulement. Une minimisation numérique, sur des matrices de trace nulle tirées au hasard pour $n$ de $2$ à $5$, redonne cette valeur. ✓

Piège. Pour $n = 1$, on a $J = I_{1}$ et la famille $(I_{n}, J)$ est liée ; c'est pourquoi l'énoncé suppose $n \geqslant 2$, et la formule, qui divise par $n(n - 1)$, n'a pas de sens pour $n = 1$. Remplacer $J$ par $J - I_{n}$, orthogonale à $I_{n}$, évite de résoudre le système des équations normales.