Exercice 33

1. Un vecteur $y$ est orthogonal à tous les éléments de $F \cup G$ si et seulement s'il est orthogonal à tous ceux de $F$ et à tous ceux de $G$ : $(F \cup G)^{\perp} = F^{\perp} \cap G^{\perp}$. Par ailleurs, $F + G$ est le sous-espace engendré par $F \cup G$ (chapitre 14, proposition 11), et la proposition 5 (ii) donne $A^{\perp} = (\mathrm{Vect} A)^{\perp}$. $$\boxed{(F \cup G)^{\perp} = (F + G)^{\perp} = F^{\perp} \cap G^{\perp}}$$

2. Comme $F \cap G \subset F$, la proposition 5 (ii) donne $F^{\perp} \subset (F \cap G)^{\perp}$, et de même $G^{\perp} \subset (F \cap G)^{\perp}$. Le sous-espace $(F \cap G)^{\perp}$ (proposition 5 (i)) contient donc la somme $F^{\perp} + G^{\perp}$. $$\boxed{F^{\perp} + G^{\perp} \subset (F \cap G)^{\perp}}$$

3. On applique la question 1 aux sous-espaces $F^{\perp}$ et $G^{\perp}$, puis la proposition 11, qui donne $(F^{\perp})^{\perp} = F$ en dimension finie : $$(F^{\perp} + G^{\perp})^{\perp} = (F^{\perp})^{\perp} \cap (G^{\perp})^{\perp} = F \cap G.$$ On prend l'orthogonal des deux membres, et l'on utilise encore la proposition 11 pour le sous-espace $F^{\perp} + G^{\perp}$. Pour une partie $A$ quelconque, la proposition 5 (ii) et la proposition 11 donnent $(A^{\perp})^{\perp} = ((\mathrm{Vect} A)^{\perp})^{\perp} = \mathrm{Vect} A$. $$\boxed{(F \cap G)^{\perp} = F^{\perp} + G^{\perp}, \qquad (A^{\perp})^{\perp} = \mathrm{Vect}(A) \qquad (E \text{ euclidien})}$$

4. La remarque qui suit la proposition 11 du cours, faite avec ce produit scalaire, établit que $F^{\perp} = \{0\}$ pour l'hyperplan $F = \{P \mid P(1) = 0\}$. Un polynôme constant $c$ appartient à $F$ si et seulement si $c = 0$ : $F \cap G = \{0\}$, d'où $(F \cap G)^{\perp} = \mathbb{R}[X]$. D'autre part, $G^{\perp} = \{1\}^{\perp}$ est l'ensemble des polynômes dont le coefficient constant $b_{0} = \langle Q, 1 \rangle$ est nul. Ainsi $$\boxed{F^{\perp} + G^{\perp} = \{Q \in \mathbb{R}[X] \mid Q(0) = 0\} \neq \mathbb{R}[X] = (F \cap G)^{\perp}}$$ puisque le polynôme $1$ n'appartient pas au membre de gauche.

À retenir. Les deux formules de la question 3 reposent sur $(F^{\perp})^{\perp} = F$, c'est-à-dire sur la proposition 11, qui suppose la dimension finie. En dimension infinie, seule l'inclusion de la question 2 subsiste, et la question 4 montre qu'elle peut être stricte. L'exercice 39 donne un autre exemple de sous-espace d'orthogonal nul.