Exercice 39

1. L'application $f \mapsto f(0)$ est une forme linéaire sur $E$, non nulle puisqu'elle vaut $1$ en la fonction constante $1$ : son noyau $F$ est un hyperplan de $E$ (chapitre 14). Soit $g \in F^{\perp}$. La fonction $f : t \mapsto tg(t)$ est continue sur $[0\,,1]$ et nulle en $0$ : elle appartient à $F$, donc $$0 = \langle f, g \rangle = \int_{0}^{1} t\,g(t)^{2}\,\mathrm{d} t.$$ La fonction $t \mapsto tg(t)^{2}$ est continue, positive, d'intégrale nulle : elle est nulle sur $[0\,,1]$ (chapitre 18, théorème 4). Donc $g(t) = 0$ pour tout $t \in \,]0\,,1]$, et $g(0) = 0$ aussi, par continuité de $g$ en $0$. $$\boxed{F \text{ est un hyperplan de } E, \qquad F^{\perp} = \{0\}}$$

2. Un supplémentaire orthogonal de $F$ serait un supplémentaire $G$ de $F$ formé de vecteurs orthogonaux à $F$, c'est-à-dire contenu dans $F^{\perp} = \{0\}$. On aurait alors $E = F \oplus \{0\} = F$, ce qui est faux puisque la fonction constante $1$ n'appartient pas à $F$. $$\boxed{F \text{ n'admet pas de supplémentaire orthogonal : } F \oplus F^{\perp} = F \neq E}$$ Le théorème 6 suppose $F$ de dimension finie, et ce n'est pas le cas : $F$ contient la famille libre $(t, t^{2}, \dots, t^{k})$ pour tout $k$ (chapitre 15). Ce n'est pas la dimension de $E$ qui compte, mais celle du sous-espace sur lequel on projette.

À retenir. C'est le même phénomène que dans la remarque qui suit la proposition 11 et dans l'exercice 33 : en dimension infinie, un hyperplan peut avoir un orthogonal nul, et alors $(F^{\perp})^{\perp} = E \neq F$. L'astuce de la fonction $t \mapsto tg(t)$, qui fabrique un élément de $F$ « à partir » de $g$, resservira à l'exercice 40.