Exercice 47

Si tous les $u_{i}$ sont nuls, la matrice de Gram est nulle, la famille est liée, et les questions 1 à 3 sont immédiates ; on écarte ce cas.

1. Le sous-espace $F = \mathrm{Vect}(u_{1}, \dots, u_{p})$ est de dimension finie $m \geqslant 1$. Muni de la restriction du produit scalaire, c'est un espace euclidien ; il possède une base orthonormée $\mathcal{B} = (e_{1}, \dots, e_{m})$ par le théorème 5, et $\mathrm{Vect}(e_{1}, \dots, e_{m}) = F$ contient les $u_{j}$. Par la proposition 8 appliquée dans $F$, la coordonnée d'indice $k$ de $u_{j}$ est $\langle u_{j}, e_{k} \rangle$ : $$\boxed{M = \big(\langle u_{j}, e_{k} \rangle\big)_{1 \leqslant k \leqslant m,\ 1 \leqslant j \leqslant p}}$$ Le coefficient d'indice $(i, j)$ de ${M}^{T}M$ est le produit de la colonne $i$ de $M$ par sa colonne $j$, c'est-à-dire $\sum_{k} \langle u_{i}, e_{k} \rangle\langle u_{j}, e_{k} \rangle$, qui vaut $\langle u_{i}, u_{j} \rangle$ par la proposition 8 : $$\boxed{{M}^{T}M = \big(\langle u_{i}, u_{j} \rangle\big)_{1 \leqslant i, j \leqslant p}}$$ C'est la proposition 9 (i), dans le sous-espace $F$ au lieu de l'espace entier.

2. On note $\Gamma = {M}^{T}M$. Pour une colonne $X = (x_{j}) \in \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R})$, la colonne $MX$ est celle des coordonnées dans $\mathcal{B}$ du vecteur $v = \sum_{j} x_{j}u_{j}$, et la proposition 8 donne $${X}^{T}\Gamma X = {(MX)}^{T}(MX) = \lVert v \rVert^{2}.$$ Si la famille est libre et si $\Gamma X = 0$, alors $\lVert v \rVert^{2} = 0$, donc $v = 0$, et $X = 0$ : la matrice $\Gamma$ est injective, donc inversible, et $G(u_{1}, \dots, u_{p}) = \det\Gamma \neq 0$ (chapitre 17, théorème 6 (ii)). Si la famille est liée, il existe $X \neq 0$ tel que $v = 0$, donc $MX = 0$ et $\Gamma X = 0$ : la matrice $\Gamma$ n'est pas inversible, et son déterminant est nul. $$\boxed{G(u_{1}, \dots, u_{p}) \neq 0 \iff (u_{1}, \dots, u_{p}) \text{ est libre}}$$

3. Si la famille est liée, $G = 0$. Si elle est libre, c'est une base de $F$, donc $m = p$ : la matrice $M$ est carrée, et le chapitre 17 (théorème 6 (i) et (iv)) donne $$G(u_{1}, \dots, u_{p}) = \det({M}^{T})\det(M) = (\det M)^{2}, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{G(u_{1}, \dots, u_{p}) \geqslant 0}$$ avec inégalité stricte pour une famille libre. Pour $p = 2$, l'inégalité s'écrit $\lVert u_{1} \rVert^{2}\lVert u_{2} \rVert^{2} - \langle u_{1}, u_{2} \rangle^{2} \geqslant 0$, et la question 2 en donne le cas d'égalité : c'est l'inégalité de Cauchy-Schwarz (théorème 1), dont le déterminant de Gram est une généralisation.

4. On décompose $x = y + h$, avec $y = p_{F}(x) \in F$ et $h = x - p_{F}(x) \in F^{\perp}$, de sorte que $\lVert h \rVert = d(x, F)$ par le théorème 7. Comme $h$ est orthogonal aux $u_{j}$, on a $\langle x, u_{j} \rangle = \langle y, u_{j} \rangle$ pour tout $j$, et, par Pythagore, $\langle x, x \rangle = \lVert y \rVert^{2} + \lVert h \rVert^{2}$. Les matrices de Gram des familles $(x, u_{1}, \dots, u_{p})$ et $(y, u_{1}, \dots, u_{p})$ ne diffèrent donc que par leur coefficient d'indice $(1, 1)$, et $$\big(\langle \cdot, \cdot \rangle\big)_{(x, u_{1}, \dots, u_{p})} = \big(\langle \cdot, \cdot \rangle\big)_{(y, u_{1}, \dots, u_{p})} + \lVert h \rVert^{2}E_{11}.$$ Le déterminant est linéaire par rapport à la première colonne (chapitre 17, proposition 9 (i)). La matrice obtenue en remplaçant la première colonne par $\lVert h \rVert^{2}E_{1}$ se développe selon cette colonne (chapitre 17, théorème 7) en $\lVert h \rVert^{2}G(u_{1}, \dots, u_{p})$, le mineur restant étant la matrice de Gram des $u_{j}$. D'autre part, $y \in F$, donc la famille $(y, u_{1}, \dots, u_{p})$ est liée et son déterminant de Gram est nul par la question 2. Il reste $$G(x, u_{1}, \dots, u_{p}) = 0 + d(x, F)^{2}\,G(u_{1}, \dots, u_{p}), \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{d(x, F)^{2} = \frac{G(x, u_{1}, \dots, u_{p})}{G(u_{1}, \dots, u_{p})}}$$ puisque $G(u_{1}, \dots, u_{p}) \neq 0$ par la question 2. On a contrôlé la formule sur un exemple aléatoire dans $\mathbb{R}^{4}$, avec $p = 2$ ✓.

5. L'exercice 35 (a) demande la borne inférieure de $\int_{0}^{1}\big(t - a\sqrt{t} - b\big)^{2}\,\mathrm{d} t = \lVert t - a\sqrt{t} - b \rVert^{2}$ dans $\mathcal{C}([0\,,1], \mathbb{R})$, muni de $\langle f, g \rangle = \int_{0}^{1} fg$ : c'est $d(x, F)^{2}$, avec $x = t$ et $F = \mathrm{Vect}(\sqrt{t}, 1)$. Les produits scalaires sont des intégrales de fonctions puissances, que l'on calcule par leurs primitives (chapitre 6) : $\int_{0}^{1} t^{\alpha}\,\mathrm{d} t = \frac{1}{\alpha + 1}$ pour $\alpha \geqslant 0$. On trouve $\lVert \sqrt{t} \rVert^{2} = \frac{1}{2}$, $\langle \sqrt{t}, 1 \rangle = \frac{2}{3}$, $\lVert 1 \rVert^{2} = 1$, $\lVert t \rVert^{2} = \frac{1}{3}$, $\langle t, \sqrt{t} \rangle = \frac{2}{5}$ et $\langle t, 1 \rangle = \frac{1}{2}$, d'où $$G(\sqrt{t}, 1) = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \\[2pt] \frac{2}{3} & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{18}, \qquad G(t, \sqrt{t}, 1) = \begin{vmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{5} & \frac{1}{2} \\[2pt] \frac{2}{5} & \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \\[2pt] \frac{1}{2} & \frac{2}{3} & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{5400}.$$ La famille $(\sqrt{t}, 1)$ est libre, puisque $G(\sqrt{t}, 1) \neq 0$, et la question 4 donne $$\boxed{\inf_{(a, b) \in \mathbb{R}^{2}} \int_{0}^{1}\big(t - a\sqrt{t} - b\big)^{2}\,\mathrm{d} t = \frac{1/5400}{1/18} = \frac{1}{300}}$$ C'est la valeur trouvée à l'exercice 35, sans avoir à résoudre les équations normales ✓. En revanche, la formule ne dit pas en quel point le minimum est atteint ; les équations normales donnent $a = \frac{6}{5}$ et $b = -\frac{3}{10}$.

À retenir. Le chapitre 17 interprétait un déterminant comme un volume, et la remarque qui suit la proposition 9 en déduit que $\sqrt{G(u_{1}, \dots, u_{p})}$ est le volume du parallélotope construit sur les $u_{j}$. La formule de la question 4 s'écrit alors « volume $=$ base $\times$ hauteur » : le volume construit sur $(x, u_{1}, \dots, u_{p})$ est celui de la base construite sur les $u_{j}$, multiplié par la hauteur $d(x, F)$.