Exercice 46

1. Soit $i$ fixé. On multiplie à gauche l'égalité $\sum_{j} A_{j} = I_{n}$ par ${A_{i}}^{T}$ ; tous les termes ${A_{i}}^{T}A_{j}$ avec $j \neq i$ sont nuls, et il reste $${A_{i}}^{T} = {A_{i}}^{T}A_{i}.$$ Le second membre est une matrice symétrique, puisque ${({A_{i}}^{T}A_{i})}^{T} = {A_{i}}^{T}A_{i}$. En transposant, on obtient $A_{i} = {A_{i}}^{T}A_{i} = {A_{i}}^{T}$ : la matrice $A_{i}$ est symétrique, et l'égalité devient $A_{i} = A_{i}^{2}$. Ainsi $A_{i}$ est un projecteur, de matrice symétrique, donc un projecteur orthogonal par la question 1 de l'exercice 42. $$\boxed{A_{i}^{2} = A_{i} = {A_{i}}^{T} : \ A_{i} \text{ est un projecteur orthogonal}}$$

2. La trace d'un projecteur est égale à son rang (chapitre 16, proposition 15), et la trace est linéaire : $$\sum_{k = 1}^{p} \mathrm{rg}(A_{k}) = \sum_{k = 1}^{p} \operatorname{tr}(A_{k}) = \operatorname{tr}\Big(\sum_{k = 1}^{p} A_{k}\Big) = \operatorname{tr}(I_{n}), \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\sum_{k = 1}^{p} \mathrm{rg}(A_{k}) = n}$$ Pour $n = 3$, $A_{1} = \frac{1}{3}J$, où $J$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$, et $A_{2} = I_{3} - \frac{1}{3}J$, on a $J^{2} = 3J$, donc ${A_{1}}^{T}A_{2} = \frac{1}{3}J - \frac{1}{9}J^{2} = 0$, et les rangs valent $1$ et $2$ ✓ : $A_{1}$ projette sur la droite $\mathrm{Vect}\big((1, 1, 1)\big)$, $A_{2}$ sur le plan orthogonal.

Piège. Les transposées de l'hypothèse sont essentielles. Avec seulement $A_{i}A_{j} = 0$ pour $i \neq j$, on obtient encore des projecteurs, mais pas forcément orthogonaux : pour le projecteur oblique $p$ de l'exercice 41 et $q = I_{2} - p$, on a $pq = qp = 0$, mais $$p = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad q = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad {p}^{T}q = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \neq 0.$$

À retenir. L'hypothèse dit que $\langle A_{i}X, A_{j}Y \rangle = {X}^{T}{A_{i}}^{T}A_{j}Y = 0$ : les images des $A_{k}$ sont deux à deux orthogonales, et $X = \sum_{k} A_{k}X$ décompose tout vecteur sur elles. L'espace est ainsi coupé en sous-espaces deux à deux orthogonaux, et la question 2 en est la traduction dimensionnelle, comme le théorème 6 pour deux morceaux.