Exercice 11

(a) Première série. Pour $n \geqslant 2$, $\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}} = \mathrm{e}^{-\ln n \cdot \ln\ln n} = \frac{1}{n^{\ln\ln n}}$. Dès que $\ln\ln n \geqslant 2$, c'est-à-dire $n \geqslant \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{2}} \approx 1618{,}2$, ce terme est majoré par $\frac{1}{n^{2}}$, et le théorème 3 conclut. $$\boxed{\sum_{n \geqslant 2} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}} \text{ converge}}$$ Deuxième série. Pour $n \geqslant 2$, l'inégalité $\ln(1 + x) \leqslant x$ (chapitre 5), appliquée au réel $x = -\frac{1}{\sqrt{n}} > -1$, donne $$0 \leqslant \Big(1 - \frac{1}{\sqrt{n}}\Big)^{n} = \mathrm{e}^{n\ln(1 - 1/\sqrt{n})} \leqslant \mathrm{e}^{-n/\sqrt{n}} = \mathrm{e}^{-\sqrt{n}},$$ et $\mathrm{e}^{-\sqrt{n}} = o\big(\frac{1}{n^{2}}\big)$, comme à l'exercice 7 (a). $$\boxed{\sum_{n \geqslant 1} \Big(1 - \frac{1}{\sqrt{n}}\Big)^{n} \text{ converge}}$$ Un développement donnerait plus précisément $\big(1 - \frac{1}{\sqrt{n}}\big)^{n} \sim \mathrm{e}^{-1/2}\mathrm{e}^{-\sqrt{n}}$, mais la majoration suffit pour la nature.

Troisième série. Pour $n \geqslant 0$, $1 - \operatorname{th} n = \frac{(\mathrm{e}^{n} + \mathrm{e}^{-n}) - (\mathrm{e}^{n} - \mathrm{e}^{-n})}{\mathrm{e}^{n} + \mathrm{e}^{-n}} = \frac{2\mathrm{e}^{-2n}}{1 + \mathrm{e}^{-2n}}$, compris entre $0$ et $2\mathrm{e}^{-2n}$, terme d'une série géométrique de raison $\mathrm{e}^{-2} < 1$. $$\boxed{\sum_{n \geqslant 0} (1 - \operatorname{th} n) \text{ converge}}$$

(b) Le terme général s'écrit $\frac{n^{\lambda} + \ln n}{n^{2}} = \frac{1}{n^{2 - \lambda}} + \frac{\ln n}{n^{2}}$, somme de deux termes positifs. La série $\sum \frac{\ln n}{n^{2}}$ converge, puisque $n^{3/2} \cdot \frac{\ln n}{n^{2}} = \frac{\ln n}{\sqrt{n}} \to 0$. La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^{2 - \lambda}}$ converge si et seulement si $2 - \lambda > 1$. Par la proposition 1 (i) et (ii) : $$\boxed{\sum_{n \geqslant 1} \frac{n^{\lambda} + \ln n}{n^{2}} \text{ converge} \iff \lambda < 1}$$ Pour $\lambda = 1$, le terme est équivalent à $\frac{1}{n}$ ; le logarithme, qui domine $n^{\lambda}$ lorsque $\lambda \leqslant 0$, n'intervient jamais dans la nature.

(c) On note $u_{n}$ le terme général, positif, et l'on compare $b^{n}$ et $2^{\sqrt{n}}$ au dénominateur.

• Si $b \leqslant 1$, alors $b^{n} \leqslant 1 \leqslant 2^{\sqrt{n}}$, donc $2^{\sqrt{n}} \leqslant b^{n} + 2^{\sqrt{n}} \leqslant 2 \cdot 2^{\sqrt{n}}$, et $\frac{a^{n}}{2} \leqslant u_{n} \leqslant a^{n}$. La série converge si $a < 1$ (série géométrique), et diverge grossièrement si $a \geqslant 1$, puisqu'alors $u_{n} \geqslant \frac{1}{2}$.

• Si $b > 1$, alors $\frac{b^{n}}{2^{\sqrt{n}}} = \mathrm{e}^{n\ln b - \sqrt{n}\ln 2}$ tend vers $+\infty$, puisque $n\ln b - \sqrt{n}\ln 2 = n\big(\ln b - \frac{\ln 2}{\sqrt{n}}\big)$. Donc $b^{n} + 2^{\sqrt{n}} \sim b^{n}$ et $u_{n} \sim \big(\frac{a}{b}\big)^{n}2^{\sqrt{n}}$. Si $a \geqslant b$, ce terme est au moins $2^{\sqrt{n}}$ et la série diverge grossièrement. Si $a < b$, on choisit $q \in \,\big]\frac{a}{b}\,,1\big[$ ; alors $\big(\frac{a}{b}\big)^{n}2^{\sqrt{n}} = q^{n} \cdot \mathrm{e}^{n\ln\frac{a}{bq} + \sqrt{n}\ln 2}$, et l'exposant tend vers $-\infty$ puisque $\ln\frac{a}{bq} < 0$ : le terme est $o(q^{n})$, et la série converge.

$$\boxed{\sum_{n \geqslant 0} \frac{a^{n}\,2^{\sqrt{n}}}{b^{n} + 2^{\sqrt{n}}} \text{ converge} \iff a < \max(1, b)}$$ Le facteur $2^{\sqrt{n}}$, qui tend vers $+\infty$, ne pèse rien devant une exponentielle $q^{n}$ : la réponse est la même que pour la série plus simple $\sum \frac{a^{n}}{b^{n} + 1}$, que l'on traite par les mêmes encadrements.

(d) On met $n$ en facteur dans chaque racine, et l'on développe $(1 + x)^{1/3}$ et $(1 + x)^{1/2}$ à l'ordre $3$ (chapitre 10, théorème 5), où $x$ est d'ordre $\frac{1}{n}$. Le calcul donne $$u_{n} = \Big(\frac{a}{3} - \frac{1}{2}\Big) + \Big(\frac{b}{3} - \frac{a^{2}}{9} - \frac{3}{8}\Big)\frac{1}{n} + \Big(\frac{c}{3} - \frac{2ab}{9} + \frac{5a^{3}}{81} + \frac{3}{16}\Big)\frac{1}{n^{2}} + O\Big(\frac{1}{n^{3}}\Big).$$ Si $a \neq \frac{3}{2}$, $u_{n}$ a une limite non nulle : divergence grossière. Si $a = \frac{3}{2}$, le coefficient de $\frac{1}{n}$ vaut $\frac{b}{3} - \frac{1}{4} - \frac{3}{8} = \frac{b}{3} - \frac{5}{8}$ ; s'il est non nul, $u_{n}$ lui est équivalent à un facteur $\frac{1}{n}$ près, de signe constant, et la série diverge. Si $a = \frac{3}{2}$ et $b = \frac{15}{8}$, le coefficient de $\frac{1}{n^{2}}$ se réduit à $\frac{c}{3} - \frac{11}{48}$, et $u_{n} = O\big(\frac{1}{n^{2}}\big)$ : la série converge (proposition 9). $$\boxed{\sum \Big(\sqrt[3]{n^{3} + an^{2} + bn + c} - \sqrt{n^{2} + n + 1}\Big) \text{ converge} \iff a = \frac{3}{2} \text{ et } b = \frac{15}{8}, \ c \text{ quelconque}}$$ Il est inutile de discuter le signe du coefficient de $\frac{1}{n^{2}}$, qui s'annule pour $c = \frac{11}{16}$ : la domination par $\frac{1}{n^{2}}$ suffit, quel que soit $c$.

(e) On pose $h_{n} = \frac{1}{n^{\alpha}}$, qui tend vers $0$. La fonction $\operatorname{Arccos}$ est dérivable en $\frac{1}{\sqrt{2}}$, de dérivée $-\frac{1}{\sqrt{1 - 1/2}} = -\sqrt{2}$, et $\operatorname{Arccos}\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$. Le développement limité à l'ordre $1$ (chapitre 10) donne $$\operatorname{Arccos}\Big(\frac{1}{\sqrt{2}} + h_{n}\Big) - \frac{\pi}{4} = -\sqrt{2}\,h_{n} + o(h_{n}) \sim -\frac{\sqrt{2}}{n^{\alpha}}.$$ Le terme général est négatif, puisque $\operatorname{Arccos}$ est décroissante : son opposé est positif et équivalent à $\frac{\sqrt{2}}{n^{\alpha}}$. $$\boxed{\sum \Big(\operatorname{Arccos}\Big(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{n^{\alpha}}\Big) - \frac{\pi}{4}\Big) \text{ converge} \iff \alpha > 1}$$ La condition de définition $n^{\alpha} \geqslant \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = 2 + \sqrt{2}$ ne porte que sur un nombre fini de termes, et ne modifie pas la nature.