Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 20

Séries et familles sommables

64 exercices corrigés · 15   26   19   4

Séries numériques : généralités

• Exercice 1 Montrer les égalités suivantes, après avoir justifié la convergence de chacune des séries. (a) Σ_(n=2)^(+∞) ln (1 - 1/(n^2)) = -ln 2 (b)…
• Exercice 2 Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme. Dans la dernière, p désigne un entier naturel non nul. Σ_(k=2)^(+∞) 1/(k^2 -…
• Exercice 3 1. Pour tout k ∈ ℕ, montrer que la série Σ_(n ≥ 0) (n(n - 1)…(n - k + 1))/(n!) converge et calculer sa somme; pour k = 0, le produit vide vaut 1. 2.…
• Exercice 4 1. Déterminer les réels a et b pour lesquels la série Σ_(n ≥ 1) (ln n + aln (n + 1) + bln (n + 2)) converge, et calculer alors sa somme. 2. Même…
• Exercice 5 Déterminer la nature de la série Σ_(n ≥ 2) ln (((ln (n + 1))^2)/(ln n ln (n + 2))), puis calculer sa somme lorsqu'elle existe. On pourra poser a_n =…
• Exercice 6 Regrouper les termes d'une série. Soit Σ a_n une série d'éléments de K et φ: ℕ → ℕ une application strictement croissante telle que φ(0) = 0. On…

Séries à termes positifs

• Exercice 7 Déterminer, en fonction des paramètres a, b ∈ ℝ et α ∈ ℝ_(+), la nature des séries de termes généraux suivants. (a) (1/2)^√n (b) 1/(√n) ln (1 +…
• Exercice 8 On définit la suite (u_n)_(n ≥ 1) par u_n = 1/n si n est le carré d'un entier, et u_n = 1/(n^2) sinon. Déterminer la nature de la série Σ_(n ≥ 1)…
• Exercice 9 Soit Σ u_n une série à termes positifs. 1. On suppose que Σ u_n converge. Montrer que la série Σ u_n^α converge pour tout réel α > 1. 2. On suppose…
• Exercice 10 À l'aide d'une comparaison avec une intégrale, donner un équivalent simple, quand n tend vers +∞, de Σ_(k=n+1)^2n 1/(√k) et de Σ_(k=2)^n 1/(kln k).
• Exercice 11 Déterminer la nature des séries suivantes, en fonction des paramètres réels indiqués. (a) Σ_(n ≥ 2) 1/((ln n)^(ln n)), Σ_(n ≥ 1) (1 - 1/(√n))^n et…
• Exercice 12 Déterminer la nature des séries de termes généraux suivants. (a) u_n = 1/(ln (n!)) Σ_(k=1)^n 1/k, pour n ≥ 2. (b) v_n = ∫_0^(π/n) (sin ^3x)/(1 + x)…
• Exercice 13 Les séries de Bertrand. Pour α, β ∈ ℝ, on considère la série Σ_(n ≥ 2) 1/(n^α(ln n)^β). 1. Déterminer sa nature lorsque α ≠ 1, par comparaison avec…
• Exercice 14 Montrer que (s - 1) zeta (s) tend vers 1 quand le réel s tend vers 1 par valeurs supérieures. Que peut-on en déduire pour zeta (s) ?
• Exercice 15 Déterminer la partie entière du réel Σ_(n=1)^10^9 1/(n^(2/3)), sans calculatrice.
• Exercice 16 1. Justifier la convergence de la série Σ_(n ≥ 1) 1/(n(2n + 1)) et calculer sa somme. On pourra exprimer ses sommes partielles à l'aide de H_n et de…
• Exercice 17 Soit Σ a_n une série à termes positifs. 1. Montrer que si Σ a_n converge, alors Σ √(a_na_(n+1)) converge. 2. Montrer que la réciproque est vraie si…
• Exercice 18 Soit (u_n)_(n ≥ 1) une suite réelle positive et décroissante telle que la série Σ u_n converge. 1. En minorant la somme Σ_(k=n+1)^2n u_k, montrer…
• Exercice 19 Une condensation. Soit (a_n)_(n ≥ 1) une suite réelle décroissante de limite nulle. 1. Montrer que les séries Σ_(n ≥ 1) a_n et Σ_(p ≥ 0) 2^pa_2^p…
• Exercice 20 Soit σ: ℕ^() → ℕ^() une bijection. Déterminer la nature de la série Σ_(n ≥ 1) (σ(n))/(n^2). On pourra minorer les sommes Σ_(n=N+1)^2N (σ(n))/(n^2).
• Exercice 21 Pour tout k ∈ ℕ, montrer que la série Σ_(n ≥ 0) (n^k)/(2^(n+1)) converge, et que sa somme S_k est un nombre entier. On pourra exprimer S_k à l'aide…
• Exercice 22 Soit (u_n)_(n ≥ 1) une suite injective d'entiers naturels non nuls. Déterminer la nature de la série Σ_(n ≥ 1) 1/(ppcm(u_1, u_2, …, u_n)). On pourra…
• Exercice 23 1. Montrer que la fonction x ↦ ∫_1^x (sin (ln t))/t d t n'a pas de limite en +∞. 2. À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, montrer que,…
• Exercice 24 Restes de séries équivalentes. 1. Soit Σ u_n et Σ v_n deux séries convergentes à termes strictement positifs telles que u_n ∼ v_n. Montrer que leurs…
• Exercice 25 Pour tout n ≥ 2, on pose u_n = Π_(k=2)^n (2 - 3^(1/k)). 1. Montrer que la suite (u_n)_(n ≥ 2) converge. 2. Déterminer sa limite, en étudiant la…
• Exercice 26 Soit (u_n)_(n ≥ 1) une suite de réels strictement positifs. 1. On suppose qu'il existe un réel α tel que (u_(n+1))/(u_n) = 1 - α/n + o (1/n).…
• Exercice 27 Il n'existe pas de série de comparaison universelle. 1. Soit (eta _n) une suite de réels strictement positifs de limite nulle. Montrer qu'il existe…
• Exercice 28 Soit Σ a_n une série à termes strictement positifs et S_n = Σ_(k=0)^n a_k sa somme partielle. On suppose que a_nS_n tend vers 1 quand n tend vers…
• Exercice 29 Sommes partielles « à trous ». Soit Σ u_n une série convergente à termes positifs, de somme U, telle que u_n ≤ Σ_(k=n+1)^(+∞) u_k pour tout n ∈ ℕ.…

Séries absolument convergentes

• Exercice 30 Soit Σ u_n, Σ v_n et Σ w_n trois séries réelles telles que u_n ≤ v_n ≤ w_n pour tout n ∈ ℕ. On suppose que Σ u_n et Σ w_n convergent. Montrer que Σ…
• Exercice 31 1. On note a_n la n -ième décimale de π, de sorte que π = 3 + Σ_(n=1)^(+∞) (a_n)/(10^n). Déterminer, selon le réel x, la nature de la série Σ_(n ≥…
• Exercice 32 Déterminer, selon le réel x, la nature de la série Σ_(n ≥ 0) binom 2n{n}x^n. On pourra comparer le terme général à celui d'une série géométrique, en…
• Exercice 33 Pour tout n ≥ 1, on pose z_n = Π_(k=1)^n (1 + i/k). 1. Montrer que la suite (|z_n|) converge. 2. Montrer que la suite (z_n) diverge. On pourra…
• Exercice 34 Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) une suite de nombres complexes telle que la série Σ u_n soit absolument convergente et que Σ_(n=0)^(+∞) u_n^k = 0 pour tout…

Séries alternées

• Exercice 35 1. Soit α > 0 et, pour n ∈ ℕ, u_n = Arccos ((1 + n^α)/(2 + n^α)). Déterminer la nature des séries Σ u_n et Σ (-1)^nu_n. 2. Déterminer la nature de…
• Exercice 36 À l'aide de développements asymptotiques, déterminer la nature des séries suivantes, en fonction des paramètres indiqués. On précisera, en cas de…
• Exercice 37 Pour toute suite réelle u = (u_n), on note E(u) l'ensemble des entiers p ≥ 1 tels que la série Σ u_n^p converge. 1. On suppose u à termes positifs.…
• Exercice 38 Déterminer la nature de la série Σ_(n ≥ 1) sin (π n! e). On pourra écrire, à l'aide du théorème 2 du cours, n! e = a_n + r_n, où a_n = Σ_(k=0)^n…
• Exercice 39 On pourra utiliser l'exercice 6 de cette feuille. 1. Déterminer la nature de la série Σ_(n ≥ 1) ((-1)^(lfloor ln n rfloor))/n. 2. Déterminer la…
• Exercice 40 On veut calculer la somme de la série Σ_(n ≥ 1) (-1)^n (ln n)/n. 1. Montrer que cette série converge. 2. Montrer qu'il existe un réel C tel que…
• Exercice 41 Pour n ≥ 1, on note S_n = Σ_(k=1)^n ((-1)^(k-1))/k et R_n = ln 2 - S_n. 1. Montrer que R_n = (-1)^n ∫_0^1 (t^n)/(1 + t) d t, puis que ∫_0^1 (t^n)/(1…
• Exercice 42 La transformation d'Abel. Soit (u_n) et (v_n) deux suites de nombres complexes, et V_n = Σ_(k=0)^n v_k. 1. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, Σ_(k=0)^n…
• Exercice 43 Soit α > 0. On définit la suite (u_n)_(n ≥ 1) par u_1 = 1 et u_(n+1) = (cos u_n)/(n^α) pour tout n ≥ 1. 1. Montrer que u_n ∈ ]0,1] pour tout n, que…
• Exercice 44 Le théorème de réarrangement de Riemann. Le cours a admis ce théorème à la section 20.5; on le démontre ici. Soit Σ u_n une série réelle…

Familles sommables de réels positifs

• Exercice 45 Les familles suivantes sont-elles sommables ? Lorsque c'est le cas, on calculera la somme de la première. (a) ((2^n3^m)/((n + m)!))_(n,m) ∈ ℕ^2, (b)…
• Exercice 46 Pour quelles valeurs du réel α la famille (1/(n^(α p)))_(n ≥ 2, p ≥ 2) est-elle sommable ? Comparer avec l'exemple du cours où l'on calcule…
• Exercice 47 1. Soit Σ_(n ≥ 1) a_n une série convergente à termes positifs. Montrer que la série de terme général b_p = pΣ_(n=p)^(+∞) (a_n)/(n(n + 1)), p ≥ 1,…
• Exercice 48 Donner une condition nécessaire et suffisante sur le réel α pour que la famille (1/(p^α + q^α))_(p,q) ∈ (ℕ^())^2 soit sommable. On pourra regrouper…
• Exercice 49 Pour deux entiers p, q ≥ 1, on note p wedge q leur PGCD. Calculer, en fonction de zeta (2) et de zeta (4), la somme Σ_(substack (p,q) ∈ (ℕ^())^2 p…
• Exercice 50 Montrer que la famille (1/(nm(n + m)))_(n,m) ∈ (ℕ^())^2 est sommable et que Σ_(n,m) ∈ (ℕ^())^2 1/(nm(n + m)) = Σ_(n=1)^(+∞) (H_n)/(n^2) =…
• Exercice 51 Pour tout entier n ≥ 1, on note b(n) le nombre de chiffres égaux à 1 dans l'écriture de n en base 2; par exemple b(6) = b(overline 110^(2)) = 2.…

Familles sommables de nombres complexes

• Exercice 52 Pour (i, j) ∈ ℕ^2, on pose a_i,j = (sgn(i - j))/(2^(|i - j|)), où sgn(x) vaut 1, -1 ou 0 selon que x est strictement positif, strictement négatif ou…
• Exercice 53 Soit z ∈ ℂ tel que |z| < 1. 1. Montrer que la famille (z^(2p+3q))_(p,q) ∈ ℕ^2 est sommable et calculer sa somme S(z). 2. Écrire S(z) sous la forme…
• Exercice 54 Soit x un nombre complexe de module strictement inférieur à 1. Montrer les égalités suivantes, après avoir justifié l'existence de chacune des…
• Exercice 55 Une famille indexée par ℤ^2. On note H = z ∈ ℂ mid Im z > 0 et, pour (a, b) ∈ ℝ^2, max (|a|, |b|) le plus grand des réels |a| et |b|. 1. Soit z = x…

Exercices de synthèse

• Exercice 56 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. Les suites considérées sont réelles. 1. Si u_n tend vers 0,…
• Exercice 57 Presque tous les entiers contiennent un 7. On note E l'ensemble des entiers n ≥ 1 dont l'écriture en base 10 ne contient pas le chiffre 7. 1. Pour k…
• Exercice 58 Une somme sur les puissances parfaites. On appelle puissance parfaite tout entier de la forme a^s, avec a ≥ 2 et s ≥ 2 entiers, et l'on note P = 4,…
• Exercice 59 La série des inverses des nombres premiers diverge. On note (p_k)_(k ≥ 1) la suite croissante des nombres premiers et, pour r ≥ 1, E_r l'ensemble…
• Exercice 60 La proportion des couples d'entiers premiers entre eux. On définit la fonction μ: ℕ^() → ℤ par μ(1) = 1, μ(n) = (-1)^r si n est le produit de r…
• Exercice 61 1. Déterminer toutes les fonctions continues f: [0,1] → ℝ telles que f(x) = Σ_(n=1)^(+∞) (f(x^n))/(2^n) pour tout x ∈ [0,1]. 2. Déterminer toutes…
• Exercice 62 Pour tout entier n ≥ 1, on note φ(n) le nombre d'entiers k ∈ [ [1;n] ] premiers avec n. Calculer Σ_(n=1)^(+∞) (φ(n))/(2^n - 1).
• Exercice 63 Soit (u_k)_(k ∈ ℕ) une suite de suites réelles positives: pour chaque k, u_k = (u_k(n))_(n ∈ ℕ) est une suite de réels positifs, et l'on suppose que…
• Exercice 64 On dit qu'une fonction f: ℝ → ℝ préserve la convergence si, pour toute série réelle convergente Σ a_n, la série Σ f(a_n) converge. Montrer que les…