Exercice 33

1. Le module d'un produit est le produit des modules, et $\big|1 + \frac{\mathrm{i}}{k}\big| = \sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}}}$, donc $$\ln|z_{n}| = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \ln\Big(1 + \frac{1}{k^{2}}\Big), \qquad 0 \leqslant \ln\Big(1 + \frac{1}{k^{2}}\Big) \leqslant \frac{1}{k^{2}},$$ par l'inégalité $\ln(1 + x) \leqslant x$ (chapitre 5). La série à termes positifs $\sum \ln\big(1 + \frac{1}{k^{2}}\big)$ converge par comparaison avec $\sum \frac{1}{k^{2}}$ (théorème 3) : $\ln|z_{n}|$ converge vers un réel $L$, et, par continuité de l'exponentielle, $$\boxed{|z_{n}| \xrightarrow[n \to +\infty]{} \rho = \mathrm{e}^{L} > 0, \qquad 1 \leqslant \rho \leqslant \mathrm{e}^{\pi^{2}/12} \approx 2{,}277}$$ La majoration vient de $L \leqslant \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{2}} = \frac{\pi^{2}}{12}$ (proposition 8). Numériquement, $\rho \approx 1{,}9173$ ; on peut montrer que $\rho = \sqrt{\frac{\operatorname{sh}\pi}{\pi}}$, ce qui dépasse le programme.

2. Comme $1 + \frac{\mathrm{i}}{k}$ a une partie réelle strictement positive, un argument en est $\theta_{k} = \operatorname{Arctan}\frac{1}{k} \in \big]0\,,\frac{\pi}{4}\big]$, et $z_{n} = |z_{n}|\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Phi_{n}}$, où $$\Phi_{n} = \sum_{k=1}^{n} \theta_{k} = \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Arctan}\frac{1}{k}.$$ Comme $\operatorname{Arctan} x \sim x$ en $0$, on a $\theta_{k} \sim \frac{1}{k}$, terme positif : la série $\sum \theta_{k}$ diverge (théorème 4), et $\Phi_{n}$ tend vers $+\infty$ en croissant.

Supposons que $(z_{n})$ converge vers un complexe $z$. Comme $|z_{n}| \to \rho > 0$, on aurait $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Phi_{n}} = \frac{z_{n}}{|z_{n}|} \to \frac{z}{\rho}$, et en particulier $\cos\Phi_{n}$ convergerait. Montrons que ce n'est pas le cas. Pour $j \geqslant 1$, soit $p_{j}$ le plus petit entier $n$ tel que $\Phi_{n} \geqslant (2j + 1)\pi$ ; il existe puisque $\Phi_{n} \to +\infty$, et $p_{j} \geqslant 2$ puisque $\Phi_{1} = \frac{\pi}{4}$. Par minimalité, $\Phi_{p_{j}-1} < (2j + 1)\pi$, donc $$(2j + 1)\pi \leqslant \Phi_{p_{j}} = \Phi_{p_{j}-1} + \theta_{p_{j}} < (2j + 1)\pi + \frac{\pi}{4}, \qquad\text{d'où}\qquad \cos\Phi_{p_{j}} \leqslant -\frac{\sqrt{2}}{2},$$ puisque le cosinus est majoré par $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $\big[\pi\,,\frac{5\pi}{4}\big]$. De même, avec $q_{j}$ le plus petit entier tel que $\Phi_{n} \geqslant 2j\pi$, on obtient $\cos\Phi_{q_{j}} \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$. Les suites $(p_{j})$ et $(q_{j})$ tendent vers $+\infty$ (sinon $\Phi_{p_{j}}$ resterait bornée), et les deux suites extraites de $(\cos\Phi_{n})$ ne peuvent avoir la même limite. $$\boxed{(|z_{n}|) \text{ converge, mais } (z_{n}) \text{ diverge}}$$

La ligne brisée relie $z_{0} = 1$, $z_{1}$, $z_{2}$, …, jusqu'à $z_{5\,500}$ environ. Elle s'approche du cercle de rayon $\rho$ en le longeant, sans jamais s'arrêter : l'argument $\Phi_{n}$, voisin de $\ln n + 0{,}30$, continue de croître, de plus en plus lentement.

À retenir. La convergence d'un produit de complexes se ramène à deux séries, celle des $\ln|1 + w_{k}|$ pour le module et celle des arguments. Ici $\ln\big|1 + \frac{\mathrm{i}}{k}\big| = O\big(\frac{1}{k^{2}}\big)$, mais l'argument $\theta_{k}$ est de l'ordre de $\frac{1}{k}$ : c'est la série harmonique, cachée dans les arguments, qui fait diverger le produit. L'erreur la plus répandue est de conclure à la convergence de $(z_{n})$ à partir de celle de $(|z_{n}|)$, alors que la convergence du module ne dit rien de l'argument.