Exercice 32

Pour $x = 0$, la série se réduit à son premier terme et converge. Soit $x \neq 0$ et $u_{n} = \binom{2n}{n}x^{n}$, non nul. On calcule $$\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{(2n + 2)!\,(n!)^{2}}{(2n)!\,((n + 1)!)^{2}}\,x = \frac{(2n + 2)(2n + 1)}{(n + 1)^{2}}\,x = \frac{2(2n + 1)}{n + 1}\,x, \qquad \Big|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\Big| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 4|x|.$$ La règle de d'Alembert n'étant pas un théorème du cours, on refait la comparaison géométrique de la remarque de la section 20.4.

• Si $|x| < \frac{1}{4}$, on choisit $q \in \,]4|x|\,,1[$. À partir d'un rang $N$, $|u_{n+1}| \leqslant q|u_{n}|$, d'où $|u_{n}| \leqslant |u_{N}|\,q^{n-N}$ par récurrence. La série géométrique $\sum q^{n}$ converge : $\sum u_{n}$ est absolument convergente (théorème 3 et théorème 6).

• Si $|x| > \frac{1}{4}$, le rapport $\big|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\big|$ est supérieur à $1$ à partir d'un rang $N$ : la suite $(|u_{n}|)_{n \geqslant N}$ est croissante et strictement positive, elle ne tend pas vers $0$, et la série diverge grossièrement.

• Si $|x| = \frac{1}{4}$, la formule de Stirling (chapitre 10, théorème 6) donne $$c_{n} = \frac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}} \sim \frac{\sqrt{4\pi n}\,(2n)^{2n}\mathrm{e}^{-2n}}{4^{n} \cdot 2\pi n \cdot n^{2n}\mathrm{e}^{-2n}} = \frac{1}{\sqrt{\pi n}}.$$ Pour $x = \frac{1}{4}$, $u_{n} = c_{n} > 0$ et $c_{n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ : la série diverge par le théorème 4, comme la série de Riemann d'exposant $\frac{1}{2}$. Pour $x = -\frac{1}{4}$, $u_{n} = (-1)^{n}c_{n}$, et $\frac{c_{n+1}}{c_{n}} = \frac{2n + 1}{2n + 2} < 1$ : la suite $(c_{n})$ décroît, et elle tend vers $0$. Le critère des séries alternées (théorème 7) donne la convergence, qui n'est pas absolue puisque $\sum c_{n}$ diverge.

$$\boxed{\sum_{n \geqslant 0} \binom{2n}{n}x^{n} \text{ converge} \iff -\frac{1}{4} \leqslant x < \frac{1}{4} ; \text{ absolument} \iff |x| < \frac{1}{4} ; \text{ semi-convergente en } x = -\frac{1}{4}}$$ Pour $n = 10^{5}$, on calcule $c_{n}\sqrt{\pi n} \approx 0{,}9999988$ ✓. On peut aussi obtenir l'équivalent sans Stirling : $c_{n} = \frac{2}{\pi}W_{2n}$, où $W_{2n}$ est l'intégrale de Wallis du chapitre 18 (proposition 15), dont l'équivalent $W_{2n} \sim \sqrt{\frac{\pi}{4n}}$ y a été établi : $\frac{2}{\pi}\sqrt{\frac{\pi}{4n}} = \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$.

Piège. L'erreur la plus répandue est de conclure au bord $|x| = \frac{1}{4}$ à l'aide du rapport, qui tend vers $1$ et ne dit rien. Il faut un équivalent du terme ; les deux bords ont alors des comportements différents, divergence en $\frac{1}{4}$ et semi-convergence en $-\frac{1}{4}$. On montrera en seconde année que la somme vaut $\frac{1}{\sqrt{1 - 4x}}$ ; numériquement, on trouve bien $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}70711$ en $x = -\frac{1}{4}$ et $\sqrt{2}$ en $x = \frac{1}{8}$.