Exercice 31

1. Les décimales vérifient $0 \leqslant a_{n} \leqslant 9$.

• Si $|x| < 1$, alors $|a_{n}x^{n}| \leqslant 9|x|^{n}$, terme d'une série géométrique convergente : la série $\sum a_{n}x^{n}$ est absolument convergente (proposition 9), donc convergente.

• Si $|x| \geqslant 1$, une infinité de décimales sont non nulles : sinon, $a_{n} = 0$ pour $n > N$, et $\pi = 3 + \sum_{n=1}^{N} \frac{a_{n}}{10^{n}}$ serait un nombre décimal, donc rationnel, ce que contredit l'exercice 52 de la feuille du chapitre 18. Pour chacun de ces indices, $|a_{n}x^{n}| \geqslant 1 \cdot 1 = 1$ : le terme général ne tend pas vers $0$, et la série diverge grossièrement (proposition 2).

$$\boxed{\sum_{n \geqslant 1} a_{n}x^{n} \text{ converge} \iff |x| < 1, \text{ et la convergence est alors absolue}}$$ Le seul renseignement utile sur $\pi$ est qu'il n'est pas décimal ; le même raisonnement s'applique à tout réel non décimal, par exemple $\frac{1}{3}$, et, pour un réel décimal, la série est une somme finie qui converge pour tout $x$.

2. On note $u_{n} = \frac{x^{n}}{1 + y^{n}}$, bien défini puisque $y \neq -1$ assure $y^{n} \neq -1$ pour tout $n$ (si $|y| \neq 1$, $|y^{n}| \neq 1$ pour $n \geqslant 1$ ; si $y = 1$, $1 + y^{n} = 2$). On distingue selon $|y|$.

• Si $|y| < 1$, $y^{n}$ tend vers $0$ et $|1 + y^{n}| \leqslant 2$. Pour $|x| < 1$, on a $|u_{n}| \sim |x|^{n}$ (ou $u_{n} = 0$ pour $n \geqslant 1$ si $x = 0$), et la série converge absolument par le théorème 4 et la série géométrique. Pour $|x| \geqslant 1$, on a $|u_{n}| \geqslant \frac{|x|^{n}}{2} \geqslant \frac{1}{2}$, et elle diverge grossièrement.

• Si $y = 1$, $u_{n} = \frac{x^{n}}{2}$ : la série converge si et seulement si $|x| < 1$.

• Si $|y| > 1$, on écrit $u_{n} = \Big(\frac{x}{y}\Big)^{n} \cdot \frac{1}{1 + y^{-n}}$, où $y^{-n}$ tend vers $0$, donc $|u_{n}| \sim \Big|\frac{x}{y}\Big|^{n}$. Si $|x| < |y|$, la série converge absolument ; si $|x| \geqslant |y|$, $|u_{n}|$ tend vers une limite non nulle ou vers $+\infty$, et la série diverge grossièrement.

Dans tous les cas, la condition s'écrit $|x| < \max(1, |y|)$. $$\boxed{\sum_{n \geqslant 0} \frac{x^{n}}{1 + y^{n}} \text{ converge} \iff |x| < \max(1, |y|), \qquad \text{ensemble } \mathcal{D} = \big\{(x, y) \;\big|\; y \neq -1,\ |x| < \max(1, |y|)\big\}}$$

Le domaine $\mathcal{D}$ est la bande verticale $|x| < 1$ pour $-1 < y \leqslant 1$, prolongée par les deux cônes $|x| < |y|$ pour $|y| > 1$ ; ses bords en pointillés sont exclus, ainsi que la droite d'équation $y = -1$, sur laquelle la série n'est pas définie. Le segment d'équation $y = 1$, $|x| < 1$, fait partie du domaine.