Exercice 30

Pour tout $n$, on a $0 \leqslant v_{n} - u_{n} \leqslant w_{n} - u_{n}$. La série $\sum (w_{n} - u_{n})$ converge par linéarité (proposition 1), donc la série à termes positifs $\sum (v_{n} - u_{n})$ converge (théorème 3), et $\sum v_{n} = \sum \big((v_{n} - u_{n}) + u_{n}\big)$ converge, à nouveau par linéarité. $$\boxed{u_{n} \leqslant v_{n} \leqslant w_{n},\ \sum u_{n} \text{ et } \sum w_{n} \text{ convergentes} \implies \sum v_{n} \text{ converge}}$$ L'astuce consiste à se ramener à une série à termes positifs en retranchant $u_{n}$ : le théorème 3 ne s'applique pas directement à des termes de signe quelconque, et c'est l'encadrement des deux côtés qui permet ce retour au cas positif.

La seconde hypothèse ne suffit pas. Pour $n \geqslant 1$, prenons $w_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}$ et $v_{n} = \frac{1}{n}$. On a $|v_{n}| = |w_{n}|$, la série $\sum w_{n}$ converge par le critère des séries alternées (théorème 7, la suite $\frac{1}{n}$ décroissant vers $0$), et pourtant $\sum v_{n}$ est la série harmonique, qui diverge. $$\boxed{\text{non : } |v_{n}| \leqslant |w_{n}| \text{ et } \sum w_{n} \text{ convergente n'entraînent pas la convergence de } \sum v_{n}}$$ Piège. L'erreur la plus répandue est d'appliquer le théorème de comparaison à des séries qui ne sont pas à termes positifs. Ce qui est vrai, c'est la proposition 9 : si $|v_{n}| \leqslant |w_{n}|$ et si $\sum w_{n}$ est absolument convergente, alors $\sum v_{n}$ est absolument convergente. Le contre-exemple repose précisément sur une série semi-convergente.