Exercice 34

Idée. Après division par le plus grand module $r$, seuls les termes de module $1$ comptent quand $k$ est grand : leur somme $A_{k}$, une combinaison de puissances $k$-ièmes de nombres de module $1$, devrait tendre vers $0$. Une telle somme peut s'annuler pour certains $k$, mais pas « en moyenne » : la moyenne de $|A_{k}|^{2}$ tend vers la somme des carrés des multiplicités.

Mise en place. Comme $\sum u_{n}$ converge, $u_{n} \to 0$ (proposition 2). Supposons par l'absurde que la suite $(u_{n})$ n'est pas nulle, et soit $n_{0}$ tel que $u_{n_{0}} \neq 0$. Seuls un nombre fini d'indices vérifient $|u_{n}| \geqslant |u_{n_{0}}|$, puisque $|u_{n}| \to 0$ ; le plus grand des modules correspondants est donc le plus grand de tous les $|u_{n}|$ : $$r = \max_{n \in \mathbb{N}} |u_{n}| > 0.$$ Pour $k \geqslant 1$, on a $|u_{n}^{k}| \leqslant r^{k-1}|u_{n}|$ : les séries $\sum u_{n}^{k}$ sont absolument convergentes (proposition 9), ce qui donne un sens à l'hypothèse. On pose $v_{n} = \frac{u_{n}}{r}$, de sorte que $|v_{n}| \leqslant 1$ et $\sum_{n=0}^{+\infty} v_{n}^{k} = \frac{1}{r^{k}}\sum_{n=0}^{+\infty} u_{n}^{k} = 0$ pour tout $k \geqslant 1$.

Séparation des termes de module $1$. L'ensemble $J = \{n \in \mathbb{N} \mid |v_{n}| = 1\}$ est fini, puisque $v_{n} \to 0$, et non vide. On note $w_{1}$, …, $w_{p}$ les valeurs distinctes prises par $v_{n}$ pour $n \in J$, et $c_{j} \geqslant 1$ le nombre d'indices $n \in J$ tels que $v_{n} = w_{j}$. Hors de $J$, on a $|v_{n}| < 1$, et seuls un nombre fini de ces modules dépassent $\frac{1}{2}$ : le réel $\rho = \sup_{n \notin J} |v_{n}|$ (nul si $J = \mathbb{N}$, ce qui est en fait impossible) vérifie $\rho < 1$. Pour tout $k \geqslant 1$, $$0 = \sum_{n=0}^{+\infty} v_{n}^{k} = A_{k} + \varepsilon_{k}, \qquad A_{k} = \sum_{j=1}^{p} c_{j}w_{j}^{k}, \qquad |\varepsilon_{k}| = \Big|\sum_{n \notin J} v_{n}^{k}\Big| \leqslant \rho^{k-1}\sum_{n=0}^{+\infty} |v_{n}|.$$ Comme $\rho < 1$, $\varepsilon_{k}$ tend vers $0$, et donc $$\boxed{A_{k} = \sum_{j=1}^{p} c_{j}w_{j}^{k} \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0}$$ Moyenne des carrés des modules. Pour $K \geqslant 1$, on pose $M_{K} = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K} |A_{k}|^{2}$. Comme $|A_{k}|^{2}$ tend vers $0$, le lemme de Cesàro (chapitre 10, proposition 16, appliqué à la suite $V_{K} = \sum_{k=1}^{K} |A_{k}|^{2}$, dont les accroissements tendent vers $0$) donne $M_{K} \to 0$. Calculons $M_{K}$ autrement. En développant $|A_{k}|^{2} = A_{k}\overline{A_{k}}$, avec $\overline{w_{l}} = \frac{1}{w_{l}}$ puisque $|w_{l}| = 1$, $$|A_{k}|^{2} = \sum_{j=1}^{p}\sum_{l=1}^{p} c_{j}c_{l}\big(w_{j}\overline{w_{l}}\big)^{k} = \sum_{j=1}^{p} c_{j}^{2} + \sum_{j \neq l} c_{j}c_{l}\,q_{jl}^{k}, \qquad q_{jl} = w_{j}\overline{w_{l}}.$$ Pour $j \neq l$, on a $|q_{jl}| = 1$ et $q_{jl} \neq 1$, puisque $q_{jl} = 1$ équivaut à $w_{j} = w_{l}$. La somme géométrique vérifie alors $$\Big|\sum_{k=1}^{K} q_{jl}^{k}\Big| = \Big|q_{jl}\,\frac{1 - q_{jl}^{K}}{1 - q_{jl}}\Big| \leqslant \frac{2}{|1 - q_{jl}|},$$ borne indépendante de $K$. En sommant sur $k$ de $1$ à $K$ et en divisant par $K$, $$M_{K} \geqslant \sum_{j=1}^{p} c_{j}^{2} - \frac{B}{K}, \qquad B = \sum_{j \neq l} \frac{2c_{j}c_{l}}{|1 - q_{jl}|}.$$ Quand $K$ tend vers $+\infty$, on obtient $\lim M_{K} \geqslant \sum_{j} c_{j}^{2} \geqslant 1$, ce qui contredit $M_{K} \to 0$. $$\boxed{\text{si } \sum u_{n} \text{ est absolument convergente et } \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n}^{k} = 0 \text{ pour tout } k \geqslant 1, \text{ alors } u_{n} = 0 \text{ pour tout } n}$$ Piège. L'erreur la plus répandue est de croire que $A_{k} \to 0$ est absurde terme à terme, en affirmant qu'une somme de nombres de module $1$ ne peut pas être petite. Elle peut même être nulle : pour $w_{1} = 1$ et $w_{2} = -1$, avec $c_{1} = c_{2} = 1$, $A_{k} = 1 + (-1)^{k}$ s'annule pour tout $k$ impair. C'est pourquoi on passe à la moyenne : dans cet exemple, $M_{K}$ tend vers $c_{1}^{2} + c_{2}^{2} = 2$, ce que confirme le calcul numérique. Le regroupement des valeurs égales est aussi indispensable, sans quoi certains $q_{jl}$ vaudraient $1$.

À retenir. Pour une famille finie, le résultat est un énoncé d'algèbre : si $z_{1}$, …, $z_{N}$ vérifient $\sum_{i} z_{i}^{k} = 0$ pour $k = 1$, …, $N$, ils sont tous nuls ; on le démontre par les identités de Newton, qui expriment les coefficients du polynôme $\prod_{i} (X - z_{i})$ à l'aide de ces sommes, et montrent que ce polynôme vaut $X^{N}$. Pour une infinité de termes, l'algèbre ne suffit plus, et c'est l'analyse qui prend le relais : la convergence absolue permet de négliger les petits termes, la moyenne de Cesàro de contrôler les grands. Le calcul de $M_{K}$ est une forme discrète de l'orthogonalité de la famille trigonométrique rencontrée au chapitre 19.