Exercice 35

1. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $x_{n} = \frac{1 + n^{\alpha}}{2 + n^{\alpha}} = 1 - \frac{1}{2 + n^{\alpha}}$, qui appartient à $\big[\frac{1}{2}\,,1\big[$ (pour $n = 0$, on a $0^{\alpha} = 0$ puisque $\alpha > 0$, et $u_{0} = \operatorname{Arccos}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$). Le terme $u_{n} = \operatorname{Arccos} x_{n}$ est donc bien défini, et $u_{n} \in \big]0\,,\frac{\pi}{3}\big]$.

Monotonie et limite. La fonction $t \mapsto 1 - \frac{1}{2 + t}$ est croissante sur $[0\,,+\infty[$ et la suite $(n^{\alpha})$ est croissante, donc $(x_{n})$ est croissante ; comme $\operatorname{Arccos}$ est décroissante, la suite $(u_{n})$ est décroissante. De plus $x_{n}$ tend vers $1$, et $\operatorname{Arccos}$ est continue en $1$, de valeur $0$ : $u_{n}$ tend vers $0$.

Équivalent. Par définition, $\cos u_{n} = x_{n}$, soit $1 - \cos u_{n} = \frac{1}{2 + n^{\alpha}}$. Comme $u_{n}$ tend vers $0$, le développement limité de $\cos$ (chapitre 10, théorème 5) donne $1 - \cos u_{n} \sim \frac{u_{n}^{2}}{2}$, d'où $$\frac{u_{n}^{2}}{2} \sim \frac{1}{2 + n^{\alpha}} \sim \frac{1}{n^{\alpha}}, \qquad\text{puis}\qquad \boxed{u_{n} \sim \frac{\sqrt{2}}{n^{\alpha/2}}}$$ par passage à la racine carrée, compatible avec les équivalents (chapitre 10, théorème 1). Pour $n = 10^{8}$ et $\alpha = 1$, on trouve $n^{1/2}u_{n} \approx 1{,}414\,213$ ✓.

Nature de $\sum u_{n}$. Les termes sont positifs, et le théorème 4 ramène la série à la série de Riemann d'exposant $\frac{\alpha}{2}$ (théorème 5) : $$\boxed{\sum\nolimits u_{n} \text{ converge} \iff \alpha > 2}$$

Nature de $\sum (-1)^{n}u_{n}$. La suite $(u_{n})$ décroît et tend vers $0$ : le critère des séries alternées (théorème 7) s'applique, quel que soit $\alpha > 0$. $$\boxed{\sum\nolimits (-1)^{n}u_{n} \text{ converge pour tout } \alpha > 0, \text{ absolument si et seulement si } \alpha > 2}$$ Pour $0 < \alpha \leqslant 2$, la série est donc semi-convergente.

2. Pour $n \geqslant 1$, on a $n + \sin n \geqslant 1 + \sin 1 > 0$ si $n = 1$, et $n + \sin n \geqslant n - 1 > 0$ si $n \geqslant 2$ : le terme général est défini. Posons $a_{n} = \frac{1}{n + \sin n} > 0$. La formule $\sin p - \sin q = 2\cos\frac{p + q}{2}\sin\frac{p - q}{2}$ (chapitre 4) donne $$\big|\sin(n + 1) - \sin n\big| = 2\Big|\cos\Big(n + \frac{1}{2}\Big)\Big|\sin\frac{1}{2} \leqslant 2\sin\frac{1}{2} \approx 0{,}9589 < 1,$$ donc $(n + 1) + \sin(n + 1) - (n + \sin n) = 1 + \sin(n + 1) - \sin n > 0$. La suite $(n + \sin n)$ est strictement croissante, et elle tend vers $+\infty$ puisqu'elle est minorée par $n - 1$. La suite $(a_{n})$ est donc décroissante de limite nulle, et le théorème 7 s'applique directement : $$\boxed{\sum\nolimits_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n}}{n + \sin n} \text{ converge, et le théorème des séries alternées s'applique directement}}$$ La convergence n'est pas absolue, puisque $a_{n} \sim \frac{1}{n}$ (théorèmes 4 et 5) : la série est semi-convergente.

Piège. L'erreur la plus répandue est de croire que l'oscillation de $\sin n$ empêche la décroissance de $(a_{n})$. Elle ne l'empêche que si la perturbation varie, d'un rang au suivant, plus vite que le terme principal : ici le terme principal $n$ augmente de $1$ et la perturbation de moins de $0{,}96$. Pour $\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n} + \sin n}$, au contraire, $\sqrt{n}$ augmente de moins de $\frac{1}{2\sqrt{n}}$, et la décroissance est en défaut, par exemple de $n = 1\,001$ à $n = 1\,002$ ; on revient alors à un développement asymptotique, comme dans l'exercice suivant. Ici, ce développement donnerait aussi le résultat : $$\frac{(-1)^{n}}{n + \sin n} = \frac{(-1)^{n}}{n} - \frac{(-1)^{n}\sin n}{n^{2}} + O\Big(\frac{1}{n^{3}}\Big),$$ où le premier terme relève du théorème 7 et les deux autres de la proposition 9.