Exercice 36

La méthode est celle de la remarque qui suit le théorème 7 : pour une série de signe variable, on écrit un développement asymptotique du terme général jusqu'à un reste qui est le terme général d'une série absolument convergente. Les termes qui restent sont alors soit de la forme $(-1)^{n}a_{n}$ avec $(a_{n})$ décroissante de limite nulle (théorème 7), soit de signe constant (théorèmes 3 et 4).

(a) Le terme $v_{n} = \mathrm{e} - \big(1 + \frac{1}{n}\big)^{n}$ est strictement positif, puisque $n\ln\big(1 + \frac{1}{n}\big) < n \cdot \frac{1}{n} = 1$ (chapitre 5, $\ln(1 + x) < x$ pour $x > 0$). Avec $h = \frac{1}{n}$, on a $\frac{1}{h}\ln(1 + h) = 1 - \frac{h}{2} + \frac{h^{2}}{3} + O(h^{3})$, et le développement de l'exponentielle donne $$\Big(1 + \frac{1}{n}\Big)^{n} = \mathrm{e} \cdot \exp\Big(-\frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^{2}} + O\Big(\frac{1}{n^{3}}\Big)\Big) = \mathrm{e}\Big(1 - \frac{1}{2n} + \frac{11}{24n^{2}} + O\Big(\frac{1}{n^{3}}\Big)\Big),$$

• Convergence absolue. On a $\frac{v_{n}}{n^{\alpha}} \sim \frac{\mathrm{e}}{2n^{\alpha + 1}}$ : la série converge absolument si et seulement si $\alpha + 1 > 1$, c'est-à-dire $\alpha > 0$ (théorèmes 4 et 5).

• Si $\alpha \leqslant -1$, la valeur absolue du terme général est équivalente à $\frac{\mathrm{e}}{2}n^{-\alpha - 1}$, qui tend vers $\frac{\mathrm{e}}{2}$ ou vers $+\infty$ : la série diverge grossièrement (proposition 2).

• Si $-1 < \alpha \leqslant 0$, on écrit $$\frac{(-1)^{n}v_{n}}{n^{\alpha}} = \frac{\mathrm{e}}{2} \cdot \frac{(-1)^{n}}{n^{\alpha + 1}} + O\Big(\frac{1}{n^{\alpha + 2}}\Big).$$ Le premier terme donne une série convergente par le théorème 7, puisque $\alpha + 1 > 0$ ; le second est le terme général d'une série absolument convergente (proposition 9), puisque $\alpha + 2 > 1$. La série converge.

(b) Pour $n \geqslant 2$, on factorise $\sqrt{n}$ au dénominateur et l'on développe $\frac{1}{1 + x} = 1 - x + O(x^{2})$ avec $x = \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$, qui tend vers $0$ : $$\frac{(-1)^{n}n^{\alpha}}{\sqrt{n} + (-1)^{n}} = \frac{(-1)^{n}n^{\alpha}}{\sqrt{n}}\Big(1 - \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} + O\Big(\frac{1}{n}\Big)\Big), \qquad \boxed{\frac{(-1)^{n}n^{\alpha}}{\sqrt{n} + (-1)^{n}} = \frac{(-1)^{n}}{n^{1/2 - \alpha}} - \frac{1}{n^{1 - \alpha}} + O\Big(\frac{1}{n^{3/2 - \alpha}}\Big)}$$

• Convergence absolue. La valeur absolue du terme est équivalente à $n^{\alpha - 1/2}$ : la série converge absolument si et seulement si $\frac{1}{2} - \alpha > 1$, c'est-à-dire $\alpha < -\frac{1}{2}$.

• Si $\alpha \geqslant \frac{1}{2}$, cette valeur absolue ne tend pas vers $0$ : divergence grossière.

• Si $\alpha < \frac{1}{2}$, le premier terme donne une série convergente (théorème 7), et le reste une série absolument convergente, puisque $\frac{3}{2} - \alpha > 1$. Par linéarité (proposition 1), la série a la nature de $\sum \frac{1}{n^{1 - \alpha}}$, qui converge si et seulement si $1 - \alpha > 1$, soit $\alpha < 0$.

$$\boxed{\text{la série (b) converge} \iff \alpha < 0, \quad \text{absolument} \iff \alpha < -\frac{1}{2}}$$ Pour $\alpha = 0$, on retrouve exactement l'exemple de la remarque qui suit le théorème 7 : le terme est équivalent à $\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$, et pourtant la série diverge.

(c) On isole le terme $n\pi$ par la quantité conjuguée : pour $n \in \mathbb{N}$, $$\varepsilon_{n} = \sqrt{1 + n^{2}\pi^{2}} - n\pi = \frac{1}{\sqrt{1 + n^{2}\pi^{2}} + n\pi}, \qquad \sin\Big(\sqrt{1 + n^{2}\pi^{2}}\Big) = \sin(n\pi + \varepsilon_{n}) = (-1)^{n}\sin\varepsilon_{n}.$$ Le dénominateur de $\varepsilon_{n}$ est strictement croissant et tend vers $+\infty$ : la suite $(\varepsilon_{n})$ décroît vers $0$, à partir de $\varepsilon_{0} = 1$. Comme $\sin$ est croissante sur $[0\,,1] \subset \big[0\,,\frac{\pi}{2}\big]$, la suite $(\sin\varepsilon_{n})$ est positive, décroissante et de limite nulle, et le théorème 7 donne la convergence. Enfin $\sin\varepsilon_{n} \sim \varepsilon_{n} \sim \frac{1}{2\pi n}$ : la convergence n'est pas absolue. $$\boxed{\sum\nolimits \sin\big(\sqrt{1 + n^{2}\pi^{2}}\big) \text{ est semi-convergente}}$$

(d) Le même procédé, avec $n + \frac{1}{2}$ au lieu de $n\pi$, donne $$\delta_{n} = \sqrt{n^{2} + n + 1} - \Big(n + \frac{1}{2}\Big) = \frac{n^{2} + n + 1 - \big(n + \frac{1}{2}\big)^{2}}{\sqrt{n^{2} + n + 1} + n + \frac{1}{2}} = \frac{3/4}{\sqrt{n^{2} + n + 1} + n + \frac{1}{2}}.$$ La suite $(\delta_{n})$ décroît vers $0$, de $\delta_{0} = \frac{1}{2}$, et $\delta_{n} \sim \frac{3}{8n}$. Pour tout réel $x$, on a $$\cos\Big(n\pi + \frac{\pi}{2} + x\Big) = (-1)^{n}\cos\Big(\frac{\pi}{2} + x\Big) = (-1)^{n + 1}\sin x,$$

$$\boxed{\cos\Big(\pi\sqrt{n^{2} + n + 1}\Big) = (-1)^{n + 1}\sin(\pi\delta_{n})}$$ avec $\pi\delta_{n} \in \big]0\,,\frac{\pi}{2}\big]$ : la suite $\big(\sin(\pi\delta_{n})\big)$ est décroissante de limite nulle, et la série converge par le théorème 7 (au signe global près). Comme $\sin(\pi\delta_{n}) \sim \frac{3\pi}{8n}$, elle n'est pas absolument convergente. $$\boxed{\sum\nolimits \cos\big(\pi\sqrt{n^{2} + n + 1}\big) \text{ est semi-convergente}}$$

(e) Posons $c_{n} = (n!)^{1/n}$ pour $n \geqslant 1$. Comme $n! \leqslant n^{n} < (n + 1)^{n}$, on a $$\big((n + 1)!\big)^{n} = (n!)^{n}(n + 1)^{n} > (n!)^{n} \cdot n! = (n!)^{n + 1},$$ et, en prenant la puissance $\frac{1}{n(n + 1)}$, $c_{n + 1} > c_{n}$ : la suite $(c_{n})$ est croissante. Elle tend vers $+\infty$, puisque $\ln c_{n} = \frac{\ln(n!)}{n}$ et que $\ln(n!) \sim n\ln n$ (remarque qui suit la proposition 6). Ainsi $\big(\frac{1}{c_{n}}\big)$ décroît vers $0$, et la série converge par le théorème 7. Enfin $c_{n} \leqslant n$, puisque $n! \leqslant n^{n}$ : on a $\frac{1}{c_{n}} \geqslant \frac{1}{n}$, et la série des valeurs absolues diverge par comparaison avec la série harmonique (théorème 3). $$\boxed{\sum\nolimits \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n!}} \text{ est semi-convergente}}$$ La formule de Stirling (chapitre 10, théorème 6) précise que $c_{n} \sim \frac{n}{\mathrm{e}}$, mais elle est inutile ici.

(f) Pour $n \geqslant 2$, posons $x_{n} = (\ln n)^{a}$. Le dénominateur $x_{n} + (-1)^{n}$ ne s'annule pas, puisque $x_{n} = 1$ équivaudrait à $n = \mathrm{e}$. Au lieu d'un développement, on écrit une identité exacte : pour $\varepsilon = \pm 1$, on a $\frac{\varepsilon}{x} - \frac{\varepsilon}{x + \varepsilon} = \frac{\varepsilon^{2}}{x(x + \varepsilon)}$, d'où $$\boxed{\frac{(-1)^{n}}{(\ln n)^{a} + (-1)^{n}} = \frac{(-1)^{n}}{x_{n}} - b_{n}, \qquad b_{n} = \frac{1}{x_{n}\big(x_{n} + (-1)^{n}\big)}}$$ La suite $\big(\frac{1}{x_{n}}\big)$ décroît vers $0$, puisque $a > 0$ : la série $\sum \frac{(-1)^{n}}{x_{n}}$ converge (théorème 7). Pour $n \geqslant 3$, on a $x_{n} > 1$, donc $b_{n} > 0$, et $b_{n} \sim \frac{1}{x_{n}^{2}} = \frac{1}{(\ln n)^{2a}}$. Par croissances comparées (chapitre 10, proposition 2), $\frac{(\ln n)^{2a}}{n}$ tend vers $0$, donc $\frac{1}{(\ln n)^{2a}} \geqslant \frac{1}{n}$ à partir d'un certain rang : la série $\sum b_{n}$ diverge (théorèmes 3 et 4). Par linéarité, la série étudiée diverge, comme la différence d'une série convergente et d'une série divergente. $$\boxed{\sum\nolimits \frac{(-1)^{n}}{(\ln n)^{a} + (-1)^{n}} \text{ diverge pour tout } a > 0}$$

(g) Si $n^{a} > 2$, on a $n^{a} + (-1)^{n} > 1$, et le terme est défini : il l'est donc à partir d'un certain rang, et la nature ne dépend pas de ce rang. On note $\varepsilon = (-1)^{n}$, $L_{n} = a\ln n$ et $\eta_{n} = \ln\big(1 + \varepsilon n^{-a}\big)$, de sorte que $\ln\big(n^{a} + \varepsilon\big) = L_{n} + \eta_{n}$. La même identité exacte qu'en (f) donne $$\frac{\varepsilon}{L_{n} + \eta_{n}} = \frac{\varepsilon}{L_{n}} - c_{n}, \qquad c_{n} = \frac{\varepsilon\eta_{n}}{L_{n}(L_{n} + \eta_{n})}.$$ Le réel $\varepsilon\eta_{n}$ est strictement positif : il vaut $\ln(1 + n^{-a})$ si $n$ est pair et $-\ln(1 - n^{-a})$ si $n$ est impair. Comme $\ln(1 + x) \sim x$ en $0$, on a $\varepsilon\eta_{n} \sim n^{-a}$, et $L_{n} + \eta_{n} \sim L_{n}$, d'où $$\boxed{\frac{(-1)^{n}}{\ln\big(n^{a} + (-1)^{n}\big)} = \frac{(-1)^{n}}{a\ln n} - c_{n}, \qquad c_{n} > 0, \qquad c_{n} \sim \frac{1}{a^{2}\,n^{a}(\ln n)^{2}}}$$ La série $\sum \frac{(-1)^{n}}{a\ln n}$ converge par le théorème 7, et la série positive $\sum c_{n}$ a la nature de la série de Bertrand $\sum \frac{1}{n^{a}(\ln n)^{2}}$ (théorème 4) : par l'exercice 13, elle converge si et seulement si $a > 1$, ou $a = 1$ et $2 > 1$, c'est-à-dire si et seulement si $a \geqslant 1$. Enfin la valeur absolue du terme général est équivalente à $\frac{1}{a\ln n} \geqslant \frac{1}{n}$ pour $n$ assez grand : la convergence n'est jamais absolue. $$\boxed{\text{la série (g) converge} \iff a \geqslant 1, \quad \text{et elle n'est jamais absolument convergente}}$$ Les calculs de contrôle confirment l'identité et l'équivalent : pour $n = 10^{12}$, le rapport de $c_{n}$ à $\frac{1}{a^{2}n^{a}(\ln n)^{2}}$ vaut $1{,}000\,00$ pour $a = 1$ et $a = 2$ ✓.

À retenir. Dans les cas (f) et (g), le terme général est équivalent au terme d'une série alternée convergente, et pourtant la série peut diverger : c'est le piège annoncé par le cours après le théorème 4. Le terme correctif, de signe constant, est négligeable devant le terme principal, mais c'est lui qui décide de la nature. On a ici préféré une identité exacte à un développement asymptotique : elle évite d'avoir à contrôler un reste.