Exercice 26

Idée. Le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ tend vers $1$ et la comparaison géométrique de la remarque de la section 20.4 ne dit rien. On compare alors le rapport à celui d'une série de Riemann, $\frac{(n + 1)^{-\beta}}{n^{-\beta}} = 1 - \frac{\beta}{n} + o\big(\frac{1}{n}\big)$ : c'est le terme en $\frac{1}{n}$ qui départage.

1. Comparaison des rapports. Si $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \leqslant \frac{w_{n+1}}{w_{n}}$ pour tout $n \geqslant N$, avec $w_{n} > 0$, alors la suite $\frac{u_{n}}{w_{n}}$ est décroissante à partir du rang $N$, d'où $u_{n} \leqslant \frac{u_{N}}{w_{N}}\,w_{n}$ pour $n \geqslant N$ ; l'inégalité inverse donne de même $u_{n} \geqslant \frac{u_{N}}{w_{N}}\,w_{n}$. On prend $w_{n} = \frac{1}{n^{\beta}}$, pour lequel $\frac{w_{n+1}}{w_{n}} = \Big(1 + \frac{1}{n}\Big)^{-\beta} = 1 - \frac{\beta}{n} + o\Big(\frac{1}{n}\Big)$, de sorte que $$n\Big(\frac{u_{n+1}}{u_{n}} - \frac{w_{n+1}}{w_{n}}\Big) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \beta - \alpha.$$

• Si $\alpha > 1$, on choisit $\beta \in \,]1\,,\alpha[$. La limite $\beta - \alpha$ est strictement négative, donc $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} < \frac{w_{n+1}}{w_{n}}$ à partir d'un rang $N$, et $0 < u_{n} \leqslant \frac{C}{n^{\beta}}$ pour $n \geqslant N$, avec $C = N^{\beta}u_{N}$. Comme $\beta > 1$, la série $\sum u_{n}$ converge (théorèmes 3 et 5).

• Si $\alpha < 1$, on choisit $\beta \in \,]\alpha\,,1[$. La limite est strictement positive, d'où $u_{n} \geqslant \frac{C}{n^{\beta}}$ pour $n \geqslant N$, avec $C > 0$ ; comme $\beta < 1$, la série $\sum u_{n}$ diverge.

$$\boxed{\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = 1 - \frac{\alpha}{n} + o\Big(\frac{1}{n}\Big) : \quad \alpha > 1 \implies \sum u_{n} \text{ converge}, \qquad \alpha < 1 \implies \sum u_{n} \text{ diverge}}$$ Le cas $\alpha = 1$. Pour $u_{n} = \frac{1}{n}$, on a $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n} + O\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big)$, et la série diverge. Pour $u_{n} = \frac{1}{n(\ln n)^{2}}$ ($n \geqslant 2$, et $u_{1} = 1$), on a $\ln(n + 1) = \ln n + \ln\big(1 + \frac{1}{n}\big)$, donc $$\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{n}{n + 1}\Big(1 + \frac{\ln(1 + 1/n)}{\ln n}\Big)^{-2} = \Big(1 - \frac{1}{n} + O\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big)\Big)\Big(1 - \frac{2}{n\ln n} + o\Big(\frac{1}{n\ln n}\Big)\Big) = 1 - \frac{1}{n} + o\Big(\frac{1}{n}\Big),$$ et la série converge : la fonction $t \mapsto \frac{1}{t(\ln t)^{2}}$ est continue, positive et décroissante sur $[2\,,+\infty[$, de primitive $t \mapsto -\frac{1}{\ln t}$, et $\int_{2}^{n} \frac{\mathrm{d} t}{t(\ln t)^{2}} = \frac{1}{\ln 2} - \frac{1}{\ln n} \leqslant \frac{1}{\ln 2}$ ; la proposition 6 (iii) conclut (c'est aussi le cas $\alpha = 2$ de la série $\sum \frac{1}{p(\ln p)^{\alpha}}$ de l'exercice 19). $$\boxed{\alpha = 1 : \ \frac{1}{n} \text{ (divergente) et } \frac{1}{n(\ln n)^{2}} \text{ (convergente) ont tous deux un rapport } 1 - \frac{1}{n} + o\Big(\frac{1}{n}\Big)}$$

2. On pose $x_{n} = \ln(n^{\lambda}u_{n})$ et l'on étudie la série télescopique $\sum (x_{n+1} - x_{n})$ (proposition 4). Comme $u_{n} > 0$, le nombre $1 + h_{n}$, avec $h_{n} = -\frac{\lambda}{n} + v_{n}$, est strictement positif, et $$x_{n+1} - x_{n} = \lambda\ln\Big(1 + \frac{1}{n}\Big) + \ln(1 + h_{n}).$$ La suite $(h_{n})$ tend vers $0$, puisque $v_{n}$ tend vers $0$ (proposition 2). Par l'inégalité de Taylor-Lagrange (chapitre 18, théorème 8) appliquée à $\ln(1 + \cdot)$, dont la dérivée seconde est majorée par $4$ en valeur absolue sur $\big[-\frac{1}{2}\,,\frac{1}{2}\big]$, on a $|\ln(1 + h) - h| \leqslant 2h^{2}$ pour $|h| \leqslant \frac{1}{2}$. Pour $n$ assez grand, $|h_{n}| \leqslant \frac{1}{2}$ et $|v_{n}| \leqslant 1$, donc $h_{n}^{2} \leqslant \frac{2\lambda^{2}}{n^{2}} + 2v_{n}^{2} \leqslant \frac{2\lambda^{2}}{n^{2}} + 2|v_{n}|$. De même $\lambda\ln\big(1 + \frac{1}{n}\big) = \frac{\lambda}{n} + O\big(\frac{1}{n^{2}}\big)$. En regroupant, le terme $\frac{\lambda}{n}$ disparaît : $$x_{n+1} - x_{n} = v_{n} + O\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big) + O\big(h_{n}^{2}\big), \qquad |x_{n+1} - x_{n}| \leqslant 5|v_{n}| + \frac{M}{n^{2}} \ \text{ pour } n \text{ assez grand},$$ pour une constante $M$. La série à termes positifs $\sum \big(5|v_{n}| + \frac{M}{n^{2}}\big)$ converge : la série $\sum (x_{n+1} - x_{n})$ est absolument convergente, donc convergente, et la suite $(x_{n})$ converge vers un réel $L$ (proposition 4). Par continuité de l'exponentielle : $$\boxed{n^{\lambda}u_{n} = \mathrm{e}^{x_{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \mathrm{e}^{L} > 0, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad u_{n} \sim \frac{\mathrm{e}^{L}}{n^{\lambda}}}$$ Le résultat est plus fort que celui de la question 1 : il donne un équivalent, et tranche donc aussi le cas $\lambda = 1$ lorsque le reste est absolument sommable, la série divergeant alors comme la série harmonique. Les deux exemples du cas $\alpha = 1$ ne contredisent rien : pour $\frac{1}{n(\ln n)^{2}}$, on a $|v_{n}| \sim \frac{2}{n\ln n}$, qui n'est pas le terme général d'une série absolument convergente.

3. Pour $u_{n} = \frac{n^{n}}{n!\,\mathrm{e}^{n}}$, on a $$\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{(n + 1)^{n+1}}{(n + 1)!\,\mathrm{e}^{n+1}} \cdot \frac{n!\,\mathrm{e}^{n}}{n^{n}} = \frac{1}{\mathrm{e}}\Big(1 + \frac{1}{n}\Big)^{n}.$$ Avec $n\ln\big(1 + \frac{1}{n}\big) = 1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^{2}} + O\big(\frac{1}{n^{3}}\big)$ et le développement de l'exponentielle, $$\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \exp\Big(-\frac{1}{2n} + O\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big)\Big) = 1 - \frac{1}{2n} + O\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big).$$ La question 2 s'applique avec $\lambda = \frac{1}{2}$ et $v_{n} = O\big(\frac{1}{n^{2}}\big)$, terme d'une série absolument convergente : $\sqrt{n}\,u_{n}$ tend vers un réel $\ell > 0$, et $u_{n} \sim \frac{\ell}{\sqrt{n}}$. Par le théorème 4 et la série de Riemann d'exposant $\frac{1}{2}$ : $$\boxed{\sum_{n \geqslant 1} \frac{n^{n}}{n!\,\mathrm{e}^{n}} \text{ diverge}}$$ La question 1 suffisait d'ailleurs pour la nature, avec $\alpha = \frac{1}{2} < 1$. Avec la formule de Stirling (chapitre 10, théorème 6, et chapitre 18, théorème 10), $n! \sim \sqrt{2\pi n}\,n^{n}\mathrm{e}^{-n}$, d'où $$\boxed{u_{n} \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}, \qquad \ell = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989}$$ et l'on retrouve la divergence. Pour $n = 10^{4}$, on calcule $\sqrt{n}\,u_{n} \approx 0{,}398939$ ✓. La question 2 démontre ainsi la formule de Stirling à la constante près ; c'est exactement l'étape « la suite converge vers un réel strictement positif » de sa démonstration au chapitre 10, la constante $\sqrt{2\pi}$ venant ensuite des intégrales de Wallis (chapitre 18).