Exercice 25

1. Pour $k \geqslant 2$, on a $0 < \frac{1}{k} \leqslant \frac{1}{2}$, donc $1 < 3^{1/k} \leqslant \sqrt{3} < 2$, et le facteur $2 - 3^{1/k}$ appartient à $]0\,,1[$. Ainsi $u_{n} > 0$ et $\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = 2 - 3^{1/(n+1)} < 1$ : la suite $(u_{n})$ est décroissante et minorée par $0$. $$\boxed{(u_{n})_{n \geqslant 2} \text{ converge, par le théorème de la limite monotone (chapitre 7, théorème 8)}}$$

2. Comme $u_{n} > 0$, on peut écrire $\ln u_{n} = \sum_{k=2}^{n} \ln\big(2 - 3^{1/k}\big)$. Avec $3^{1/k} = \mathrm{e}^{(\ln 3)/k} = 1 + \frac{\ln 3}{k} + O\Big(\frac{1}{k^{2}}\Big)$, puis $\ln(1 + x) = x + O(x^{2})$, $$2 - 3^{1/k} = 1 - \frac{\ln 3}{k} + O\Big(\frac{1}{k^{2}}\Big), \qquad \boxed{\ln\big(2 - 3^{1/k}\big) = -\frac{\ln 3}{k} + O\Big(\frac{1}{k^{2}}\Big) \sim -\frac{\ln 3}{k}}$$ Le terme $-\ln(2 - 3^{1/k})$ est positif et équivalent à $\frac{\ln 3}{k}$ : par le théorème 4, la série $\sum -\ln(2 - 3^{1/k})$ diverge, et, ses termes étant positifs, ses sommes partielles tendent vers $+\infty$ (proposition 5). Ainsi $\ln u_{n}$ tend vers $-\infty$. $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_{n} = 0}$$

3. On sépare la partie divergente de la série. Le terme $a_{k} = \ln\big(2 - 3^{1/k}\big) + \frac{\ln 3}{k}$ est un $O\Big(\frac{1}{k^{2}}\Big)$ : la série $\sum_{k \geqslant 2} a_{k}$ est absolument convergente (proposition 9) ; on note $A$ sa somme. Avec $H_{n} = \ln n + \gamma + o(1)$ (proposition 7), $$\ln u_{n} = \sum_{k=2}^{n} a_{k} - \ln 3\,(H_{n} - 1) = \sum_{k=2}^{n} a_{k} - \ln 3 \cdot \ln n + \ln 3\,(1 - \gamma) + o(1).$$ Ainsi $\ln\big(n^{\ln 3}u_{n}\big) = \ln u_{n} + \ln 3 \cdot \ln n$ tend vers $A + \ln 3\,(1 - \gamma)$, et, par continuité de l'exponentielle, $$\boxed{u_{n} \sim \frac{\alpha}{n^{\ln 3}}, \qquad \alpha = \exp\Big(\ln 3\,(1 - \gamma) + \sum_{k=2}^{+\infty} \Big(\ln\big(2 - 3^{1/k}\big) + \frac{\ln 3}{k}\Big)\Big) > 0}$$ Numériquement, $A \approx -1{,}39718$ et $\alpha \approx 0{,}39349$ ; le produit $n^{\ln 3}u_{n}$ calculé directement pour $n = 10^{6}$ vaut $0{,}393487$ ✓.

Piège. L'erreur la plus répandue est de déduire un équivalent de $u_{n}$ d'un équivalent de $\ln u_{n}$. On a bien $\ln u_{n} \sim -\ln 3 \cdot \ln n = \ln\big(n^{-\ln 3}\big)$, mais cela ne donne pas $u_{n} \sim n^{-\ln 3}$ : il faut connaître $\ln u_{n}$ à $o(1)$ près, et non à $o(\ln n)$ près (chapitre 10). C'est tout le rôle de la série $\sum a_{k}$, qui fournit la constante $A$. Comme $\ln 3 \approx 1{,}0986 > 1$, on obtient au passage que la série $\sum u_{n}$ converge.