Exercice 27

1. Comme $\eta_{n}$ tend vers $0$, pour tout $k \in \mathbb{N}$, l'inégalité $\eta_{n} \leqslant 2^{-k}$ est vraie pour tous les $n$ assez grands. On construit ainsi par récurrence des indices $n_{0} < n_{1} < n_{2} < \cdots$ tels que $\eta_{n_{k}} \leqslant 2^{-k}$, en choisissant $n_{k}$ plus grand que $n_{k-1}$. On pose alors $a_{n} = \eta_{n}$ si $n$ est l'un des $n_{k}$, et $a_{n} = 0$ sinon. Les termes sont positifs, et, pour tout $N$, la somme $\sum_{n=0}^{N} a_{n}$ est majorée par $\sum_{k \geqslant 0} 2^{-k} = 2$ : la série converge (proposition 5). Mais $\frac{a_{n_{k}}}{\eta_{n_{k}}} = 1$ pour tout $k$, et le rapport $\frac{a_{n}}{\eta_{n}}$ ne tend pas vers $0$. $$\boxed{\text{il existe } \sum a_{n} \text{ convergente, à termes positifs, avec } a_{n} \neq o(\eta_{n})}$$ Si l'on veut des termes strictement positifs, on remplace les $0$ par $2^{-n}$ : la série converge toujours, et $\frac{a_{n_{k}}}{\eta_{n_{k}}} \geqslant 1$. Ainsi, aussi vite que $\eta_{n}$ tende vers $0$, la convergence d'une série n'impose pas à son terme d'être négligeable devant $\eta_{n}$ ; pour $\eta_{n} = \frac{1}{n}$, c'est ce que montrait l'exercice 8.

2. Les restes $R_{n}$ sont strictement positifs, et $a_{n} = R_{n-1} - R_{n}$ pour $n \geqslant 1$. En multipliant par la quantité conjuguée, et comme $\sqrt{R_{n}} \leqslant \sqrt{R_{n-1}}$, $$2\big(\sqrt{R_{n-1}} - \sqrt{R_{n}}\big) = \frac{2(R_{n-1} - R_{n})}{\sqrt{R_{n-1}} + \sqrt{R_{n}}} \geqslant \frac{2a_{n}}{2\sqrt{R_{n-1}}}, \qquad \boxed{\frac{a_{n}}{\sqrt{R_{n-1}}} \leqslant 2\big(\sqrt{R_{n-1}} - \sqrt{R_{n}}\big)}$$ On pose $b_{0} = 0$ et $b_{n} = \frac{1}{\sqrt{R_{n-1}}}$ pour $n \geqslant 1$. Comme $R_{n-1}$ tend vers $0$ en restant strictement positif (proposition 3), $b_{n}$ tend vers $+\infty$. Les sommes partielles de la série à termes positifs $\sum a_{n}b_{n}$ se majorent par télescopage : $$\sum_{n=1}^{N} a_{n}b_{n} \leqslant 2\sum_{n=1}^{N} \big(\sqrt{R_{n-1}} - \sqrt{R_{n}}\big) = 2\big(\sqrt{R_{0}} - \sqrt{R_{N}}\big) \leqslant 2\sqrt{R_{0}}.$$

$$\boxed{b_{n} = \frac{1}{\sqrt{R_{n-1}}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty \quad\text{et}\quad \sum a_{n}b_{n} \text{ converge}}$$ Pour $a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$, on a $R_{n-1} \sim \frac{1}{n}$ (théorème 5), donc $b_{n} \sim \sqrt{n}$ et $a_{n}b_{n} \sim \frac{1}{n^{3/2}}$ : on passe d'une série de Riemann convergente à une autre, plus lente.

3. Les termes étant strictement positifs, $S_{n} \geqslant a_{0} > 0$, et $S_{n}$ tend vers $+\infty$ en croissant (proposition 5). Pour $m > n$, chaque $S_{k}$ avec $n + 1 \leqslant k \leqslant m$ est majoré par $S_{m}$, donc $$\sum_{k=n+1}^{m} \frac{a_{k}}{S_{k}} \geqslant \frac{1}{S_{m}}\sum_{k=n+1}^{m} a_{k} = \frac{S_{m} - S_{n}}{S_{m}} = 1 - \frac{S_{n}}{S_{m}}.$$ Supposons que $\sum \frac{a_{n}}{S_{n}}$ converge, de sommes partielles $T_{n}$ et de somme $T$. L'inégalité s'écrit $$T_{m} - T_{n} \geqslant 1 - \frac{S_{n}}{S_{m}} \qquad\text{pour } m > n \, ;$$ à $n$ fixé, on fait tendre $m$ vers $+\infty$ (chapitre 7, théorème 5) et l'on obtient $T - T_{n} \geqslant 1$ pour tout $n$. Or $T - T_{n}$ tend vers $0$ : contradiction. $$\boxed{\sum a_{n} \text{ diverge} \implies \sum_{n \geqslant 1} \frac{a_{n}}{S_{n}} \text{ diverge}}$$ La suite $b_{n} = \frac{1}{S_{n}}$ est positive, tend vers $0$, et $\sum a_{n}b_{n}$ diverge. $$\boxed{b_{n} = \frac{1}{S_{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \quad\text{et}\quad \sum a_{n}b_{n} \text{ diverge}}$$ Pour $a_{n} = 1$, on a $S_{n} = n + 1$, et l'on retrouve la série harmonique. Pour $a_{n} = \frac{1}{n}$ ($n \geqslant 1$), on a $S_{n} = H_{n} \sim \ln n$, et $\frac{a_{n}}{S_{n}} \sim \frac{1}{n\ln n}$ : c'est la série du cours qui diverge « presque invisiblement ».

À retenir. La question 2 dit qu'il n'existe pas de série convergente « la plus lente », la question 3 qu'il n'existe pas de série divergente « la plus petite ». Aucune famille de séries de référence, aussi riche soit-elle, ne peut donc trancher toutes les natures par comparaison : c'est la conclusion, annoncée dans le cours après le théorème 5, à laquelle conduisaient déjà les séries de l'exercice 19.