Exercice 7

On note $u_{n}$ le terme général. Sauf mention contraire, il est positif, et l'on applique la méthode du cours : limite du terme général, puis équivalent ou comparaison avec une série de Riemann ou géométrique (théorèmes 3, 4, 5 et 1).

(a) On a $u_{n} = \mathrm{e}^{-\sqrt{n}\ln 2}$, et $n^{2}u_{n} = (\sqrt{n})^{4}\mathrm{e}^{-(\ln 2)\sqrt{n}}$ tend vers $0$ par croissances comparées (chapitre 10, proposition 2), puisque $\sqrt{n}$ tend vers $+\infty$. Donc $u_{n} = o\big(\frac{1}{n^{2}}\big)$. $$\boxed{\sum \Big(\frac{1}{2}\Big)^{\sqrt{n}} \text{ converge}}$$

(b) Comme $\frac{1}{\sqrt{n}}$ tend vers $0$ et que $\ln(1 + x) \sim x$ en $0$, on a $u_{n} \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n}$. $$\boxed{\sum \frac{1}{\sqrt{n}}\ln\Big(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\Big) \text{ diverge}}$$

(c) Comme $1 - \cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$ en $0$, on a $u_{n} \sim \frac{\pi^{2}}{2n^{2}}$. $$\boxed{\sum \Big(1 - \cos\frac{\pi}{n}\Big) \text{ converge}}$$

(d) Si $a = 0$, le terme général est nul pour $n \geqslant 1$ et la série converge. Si $a \neq 0$, les croissances comparées (chapitre 7, théorème 7), avec $q = \frac{1}{|a|}$, donnent $\frac{q^{n}}{n!} \to 0$, donc $|u_{n}| = \frac{n!}{q^{n}} \to +\infty$ : divergence grossière, quel que soit le signe de $a$. $$\boxed{\sum a^{n}\,n! \text{ converge} \iff a = 0}$$

(e) Pour $n \geqslant 1$, $u_{n} = \ln\Big(1 + \frac{2}{n^{2} + n - 1}\Big) \sim \frac{2}{n^{2} + n - 1} \sim \frac{2}{n^{2}}$, puisque $\frac{2}{n^{2} + n - 1}$ tend vers $0$. $$\boxed{\sum \ln\Big(\frac{n^{2} + n + 1}{n^{2} + n - 1}\Big) \text{ converge}}$$

(f) On a $\ln(\mathrm{e}^{n} - 1) = n + \ln(1 - \mathrm{e}^{-n}) \sim n$, donc $u_{n} \sim \frac{\ln n}{n}$, et $\frac{\ln n}{n} \geqslant \frac{1}{n}$ pour $n \geqslant 3$. $$\boxed{\sum \frac{\ln n}{\ln(\mathrm{e}^{n} - 1)} \text{ diverge}}$$

(g) Comme $\operatorname{ch} x - 1 \sim \frac{x^{2}}{2}$ en $0$, on a $\operatorname{ch}\frac{1}{n} - 1 \sim \frac{1}{2n^{2}}$, et, par passage à la puissance $\frac{1}{2}$ (chapitre 10, théorème 1), $u_{n} \sim \frac{1}{\sqrt{2}\,n}$. $$\boxed{\sum \sqrt{\operatorname{ch}\frac{1}{n} - 1} \text{ diverge}}$$

(h) On passe à la forme exponentielle, et l'on développe $\ln\big(1 + \frac{1}{n}\big)$ à l'ordre $3$ : $$\ln u_{n} = -n^{2}\ln\Big(1 + \frac{1}{n}\Big) = -n^{2}\Big(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^{2}} + O\Big(\frac{1}{n^{3}}\Big)\Big) = -n + \frac{1}{2} + O\Big(\frac{1}{n}\Big).$$ Par continuité de l'exponentielle, $u_{n}\mathrm{e}^{n} = \mathrm{e}^{1/2 + O(1/n)}$ tend vers $\sqrt{\mathrm{e}}$, donc $u_{n} \sim \sqrt{\mathrm{e}}\,\mathrm{e}^{-n}$, terme d'une série géométrique de raison $\frac{1}{\mathrm{e}} < 1$. $$\boxed{\sum \Big(\frac{n}{n + 1}\Big)^{n^{2}} \text{ converge}}$$ Piège. L'erreur la plus répandue est de dire que $\frac{n}{n + 1}$ tend vers $1$, donc que $u_{n}$ tend vers $1$ : c'est une forme indéterminée $1^{\infty}$, et l'ordre $2$ du développement est nécessaire. L'ordre $1$ donnerait seulement $\ln u_{n} = -n + O(1)$, ce qui suffit d'ailleurs pour la nature, mais pas pour l'équivalent.

(i) Pour $n \geqslant 1$, on a $0 < n\sin\frac{1}{n} < 1$, et le développement $\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5})$ donne $$n\sin\frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{6n^{2}} + O\Big(\frac{1}{n^{4}}\Big), \qquad\text{d'où}$$

$$\ln u_{n} = n^{\alpha}\ln\Big(n\sin\frac{1}{n}\Big) = -\frac{n^{\alpha - 2}}{6} + O\big(n^{\alpha - 4}\big) = -\frac{n^{\alpha - 2}}{6}\big(1 + o(1)\big).$$ Si $\alpha < 2$, $\ln u_{n}$ tend vers $0$ et $u_{n}$ vers $1$ ; si $\alpha = 2$, $u_{n}$ tend vers $\mathrm{e}^{-1/6}$ : dans les deux cas, la série diverge grossièrement. Si $\alpha > 2$, on pose $\beta = \alpha - 2 > 0$ ; à partir d'un certain rang, $\ln u_{n} \leqslant -\frac{n^{\beta}}{12}$, donc $$0 \leqslant n^{2}u_{n} \leqslant n^{2}\mathrm{e}^{-n^{\beta}/12} = \big(n^{\beta}\big)^{2/\beta}\mathrm{e}^{-n^{\beta}/12} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$ par croissances comparées, et $u_{n} = o\big(\frac{1}{n^{2}}\big)$. $$\boxed{\sum \Big(n\sin\frac{1}{n}\Big)^{n^{\alpha}} \text{ converge} \iff \alpha > 2}$$

(j) On met $n$ en facteur dans chaque racine et l'on développe à l'ordre $2$ en $\frac{1}{n^{2}}$ : $$u_{n} = n\Big(1 + \frac{a}{n^{2}}\Big)^{1/3} - n\Big(1 + \frac{3}{n^{2}}\Big)^{1/2} = \Big(\frac{a}{3} - \frac{3}{2}\Big)\frac{1}{n} + \Big(\frac{9}{8} - \frac{a^{2}}{9}\Big)\frac{1}{n^{3}} + O\Big(\frac{1}{n^{5}}\Big).$$ Si $a \neq \frac{9}{2}$, $u_{n} \sim \big(\frac{a}{3} - \frac{3}{2}\big)\frac{1}{n}$, de signe constant : la série diverge (théorème 4, appliqué à $u_{n}$ ou à $-u_{n}$). Si $a = \frac{9}{2}$, $u_{n} \sim -\frac{9}{8n^{3}}$, de signe constant, et la série converge. $$\boxed{\sum \Big(\sqrt[3]{n^{3} + an} - \sqrt{n^{2} + 3}\Big) \text{ converge} \iff a = \frac{9}{2}}$$ Le terme général n'est pas positif ici, mais il est de signe constant à partir d'un certain rang, ce qui suffit pour le théorème 4.

(k) Par le développement de l'exponentielle à l'ordre $2$, $$u_{n} = \mathrm{e}^{1/n} - a - \frac{b}{n} = (1 - a) + \frac{1 - b}{n} + \frac{1}{2n^{2}} + O\Big(\frac{1}{n^{3}}\Big).$$ Si $a \neq 1$, $u_{n}$ tend vers $1 - a \neq 0$ : divergence grossière. Si $a = 1$ et $b \neq 1$, $u_{n} \sim \frac{1 - b}{n}$, de signe constant : divergence. Si $a = b = 1$, $u_{n} \sim \frac{1}{2n^{2}}$ : convergence. $$\boxed{\sum \Big(\mathrm{e}^{1/n} - a - \frac{b}{n}\Big) \text{ converge} \iff a = b = 1}$$

(l) Le terme n'est défini que pour $n \geqslant 2$, puisque $(n - 1)^{1 - 1/n}$ vaudrait $0^{0}$ en $n = 1$ ; on étudie la série à partir de $n = 2$. Comme $\frac{\ln(n \pm 1)}{n}$ tend vers $0$, le développement $\mathrm{e}^{x} = 1 + x + O(x^{2})$ donne $$(n + 1)^{1 + 1/n} = (n + 1)\,\mathrm{e}^{\ln(n + 1)/n} = (n + 1)\Big(1 + \frac{\ln(n + 1)}{n} + O\Big(\frac{\ln^{2} n}{n^{2}}\Big)\Big) = n + 1 + \ln(n + 1) + O\Big(\frac{\ln^{2} n}{n}\Big),$$ et de même $(n - 1)^{1 - 1/n} = n - 1 - \ln(n - 1) + O\big(\frac{\ln^{2} n}{n}\big)$. Comme $\ln(n \pm 1) = \ln n + o(1)$, le numérateur vaut $2\ln n + 2 + o(1) \sim 2\ln n$, et $$u_{n} \sim \frac{2\ln n}{n^{a}}.$$ Si $a > 1$, on choisit $\rho = \frac{1 + a}{2} \in \,]1\,,a[$ : $n^{\rho} \cdot \frac{2\ln n}{n^{a}} = \frac{2\ln n}{n^{(a - 1)/2}} \to 0$ par croissances comparées, et la série converge. Si $a \leqslant 1$, $\frac{2\ln n}{n^{a}} \geqslant \frac{1}{n}$ pour $n \geqslant 3$, et la série diverge. $$\boxed{\sum_{n \geqslant 2} \frac{(n + 1)^{1 + 1/n} - (n - 1)^{1 - 1/n}}{n^{a}} \text{ converge} \iff a > 1}$$ Le contrôle numérique est lent : le numérateur divisé par $2\ln n$ vaut $1{,}14$ pour $n = 10^{3}$ et $1{,}036$ pour $n = 10^{12}$, ce qu'explique la constante $2$ négligée devant $2\ln n$.