Exercice 8

La série est à termes positifs. Pour $N \geqslant 1$, on sépare dans $S_{N}$ les indices qui sont des carrés, $n = k^{2}$ avec $k \leqslant \sqrt{N}$, des autres : $$S_{N} = \sum_{\substack{k \geqslant 1 \\ k^{2} \leqslant N}} \frac{1}{k^{2}} + \sum_{\substack{n \leqslant N \\ n \text{ non carré}}} \frac{1}{n^{2}} \leqslant \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k^{2}} + \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{2}} \leqslant 2 \cdot \frac{\pi^{2}}{6}.$$ Les sommes partielles sont majorées : la série converge (proposition 5). $$\boxed{\sum_{n \geqslant 1} u_{n} \text{ converge}}$$ On a $nu_{n} = 1$ lorsque $n$ est un carré, et $nu_{n} = \frac{1}{n}$ sinon. La suite extraite $\big(k^{2}u_{k^{2}}\big)_{k \geqslant 1}$ est constante égale à $1$ : la suite $(nu_{n})$ ne tend pas vers $0$ (chapitre 7, proposition 11 (i)). $$\boxed{(nu_{n}) \text{ ne tend pas vers } 0 : \text{ elle vaut } 1 \text{ aux carrés et } \tfrac{1}{n} \text{ ailleurs}}$$ On peut même calculer la somme. Les indices non carrés s'obtiennent en retirant les carrés, d'où $S_{N} = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{2}} - \sum_{k^{2} \leqslant N} \frac{1}{k^{4}} + \sum_{k^{2} \leqslant N} \frac{1}{k^{2}}$, et, par passage à la limite, avec $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{4}} = \frac{\pi^{4}}{90}$, valeur citée dans le cours après la proposition 8, $$\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} u_{n} = \frac{\pi^{2}}{6} - \frac{\pi^{4}}{90} + \frac{\pi^{2}}{6} = \frac{\pi^{2}}{3} - \frac{\pi^{4}}{90} \approx 2{,}2075}$$ À retenir. Pour une série convergente, $u_{n}$ tend vers $0$, mais rien n'oblige $u_{n}$ à être petit devant $\frac{1}{n}$ : la méthode du cours (« si $nu_{n} \to +\infty$, la série diverge ») n'a pas de réciproque. Les rares termes de taille $\frac{1}{n}$ sont trop espacés pour faire diverger la série. L'exercice 18 montrera que, pour une suite décroissante, la convergence force au contraire $nu_{n} \to 0$.