Exercice 9

1. La série $\sum u_{n}$ converge, donc $u_{n}$ tend vers $0$ (proposition 2) : à partir d'un certain rang, $0 \leqslant u_{n} \leqslant 1$. Pour un réel $x \in [0\,,1]$ et $\alpha > 1$, on a $x^{\alpha} = x \cdot x^{\alpha - 1} \leqslant x$. Ainsi $0 \leqslant u_{n}^{\alpha} \leqslant u_{n}$ à partir d'un certain rang, et le théorème 3 conclut. $$\boxed{\sum u_{n} \text{ converge} \implies \sum u_{n}^{\alpha} \text{ converge pour tout } \alpha > 1}$$

2. Soit $\alpha \in \,]0\,,1[$. Pour $x \in [0\,,1]$, on a cette fois $x^{\alpha} \geqslant x$, et pour $x > 1$, $x^{\alpha} > 1$. On distingue deux cas.

• Si $u_{n} \leqslant 1$ à partir d'un certain rang, alors $u_{n}^{\alpha} \geqslant u_{n} \geqslant 0$ à partir de ce rang, et $\sum u_{n}^{\alpha}$ diverge par le théorème 3 (ii).

• Sinon, $u_{n} > 1$ pour une infinité d'indices $n$, et pour ceux-là $u_{n}^{\alpha} > 1$ : la suite $(u_{n}^{\alpha})$ ne tend pas vers $0$, et la série diverge grossièrement.

$$\boxed{\sum u_{n} \text{ diverge} \implies \sum u_{n}^{\alpha} \text{ diverge pour tout } \alpha \in \,]0\,,1[}$$ Piège. L'erreur la plus répandue est de reprendre l'argument de la question 1 en affirmant que $u_{n}$ tend vers $0$ : une série divergente n'a aucune raison d'avoir un terme général de limite nulle. Le second cas est indispensable. Le résultat est faux pour $\alpha > 1$ : avec $u_{n} = \frac{1}{n}$, la série diverge et $\sum \frac{1}{n^{2}}$ converge.

3. Notons $v_{n} = \frac{u_{n}}{1 + u_{n}}$ ; on a $0 \leqslant v_{n} \leqslant u_{n}$ et $0 \leqslant v_{n} < 1$. Si $\sum u_{n}$ converge, $\sum v_{n}$ converge par le théorème 3. Réciproquement, si $\sum v_{n}$ converge, alors $v_{n}$ tend vers $0$, donc $v_{n} \leqslant \frac{1}{2}$ à partir d'un certain rang ; comme $u_{n} = \frac{v_{n}}{1 - v_{n}}$, on obtient $0 \leqslant u_{n} \leqslant 2v_{n}$ à partir de ce rang, et $\sum u_{n}$ converge. $$\boxed{\sum u_{n} \text{ et } \sum \frac{u_{n}}{1 + u_{n}} \text{ sont de même nature}}$$ On peut aussi raisonner par équivalents, mais il faut alors traiter à part le cas où $u_{n}$ ne tend pas vers $0$ ; la relation $u_{n} = \frac{v_{n}}{1 - v_{n}}$ évite cette distinction. Les deux séries sont de même nature, mais leurs sommes diffèrent : pour $u_{n} = \frac{1}{n(n + 1)}$, on trouve $v_{n} = \frac{1}{n^{2} + n + 1}$.