Exercice 6

On note $A_{n} = \sum_{k=0}^{n} a_{k}$ les sommes partielles de $\sum a_{n}$. Comme $\varphi$ est strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$, on a $\varphi(p) \geqslant p$ pour tout $p$ (récurrence immédiate) ; en particulier $\varphi(p)$ tend vers $+\infty$. Avec $\varphi(0) = 0$, la relation de Chasles donne, pour $P \in \mathbb{N}$, $$\sum_{p=0}^{P} S_{p} = \sum_{p=0}^{P}\ \sum_{k=\varphi(p)}^{\varphi(p+1) - 1} a_{k} = \sum_{k=0}^{\varphi(P + 1) - 1} a_{k} = A_{\varphi(P + 1) - 1}.$$ Les paquets $[\![\varphi(p)\,;\varphi(p + 1) - 1]\!]$ sont non vides et recouvrent $\mathbb{N}$ sans chevauchement : c'est là que servent les deux hypothèses sur $\varphi$.

1. La suite $\big(\varphi(P + 1) - 1\big)_{P \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante, à valeurs dans $\mathbb{N}$ : la suite $(A_{\varphi(P + 1) - 1})_{P}$ est extraite de $(A_{n})$. Si $(A_{n})$ converge vers $A$, elle converge aussi vers $A$ (chapitre 7, proposition 11 (i)). $$\boxed{\sum a_{n} \text{ converge} \implies \sum S_{p} \text{ converge, et } \sum_{p=0}^{+\infty} S_{p} = \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}}$$

2. On prend $a_{n} = (-1)^{n}$ et $\varphi(p) = 2p$. Alors $S_{p} = a_{2p} + a_{2p + 1} = 1 - 1 = 0$ pour tout $p$ : la série $\sum S_{p}$ converge, de somme nulle, alors que $\sum (-1)^{n}$ diverge grossièrement. $$\boxed{\text{La réciproque est fausse : } \sum S_{p} \text{ peut converger sans que } \sum a_{n} \text{ converge}}$$ C'est le calcul fautif « $(1 - 1) + (1 - 1) + \cdots = 0$ » : regrouper les termes d'une série divergente peut produire une série convergente, et l'on ne peut pas « dégrouper ».

3. Notons $L = \sum_{p=0}^{+\infty} S_{p}$, $T_{p} = \sum_{q=0}^{p-1} S_{q} = A_{\varphi(p) - 1}$ pour $p \geqslant 1$, $T_{0} = 0$, et $\varepsilon_{p} = \sum_{k=\varphi(p)}^{\varphi(p+1) - 1} |a_{k}|$. Soit $n \in \mathbb{N}$. Comme $\varphi(0) = 0$ et que $\varphi(p)$ tend vers $+\infty$ en croissant, il existe un unique $p$, que l'on note $p(n)$, tel que $\varphi(p) \leqslant n < \varphi(p + 1)$. Alors $$A_{n} = T_{p} + \sum_{k=\varphi(p)}^{n} a_{k}, \qquad\text{donc}\qquad |A_{n} - L| \leqslant |T_{p} - L| + \sum_{k=\varphi(p)}^{n} |a_{k}| \leqslant |T_{p} - L| + \varepsilon_{p}.$$ Soit $\varepsilon > 0$. Comme $T_{p}$ tend vers $L$ et $\varepsilon_{p}$ vers $0$, il existe $P$ tel que $|T_{p} - L| \leqslant \varepsilon$ et $\varepsilon_{p} \leqslant \varepsilon$ pour tout $p \geqslant P$. Pour $n \geqslant \varphi(P)$, on a $p(n) \geqslant P$, puisque $n < \varphi(p(n) + 1)$ et que $\varphi$ est croissante ; donc $|A_{n} - L| \leqslant 2\varepsilon$. $$\boxed{\sum S_{p} \text{ converge et } \varepsilon_{p} \to 0 \implies \sum a_{n} \text{ converge, de même somme}}$$ L'hypothèse $\varepsilon_{p} \to 0$ contrôle ce qui se passe à l'intérieur d'un paquet, c'est-à-dire l'écart entre une somme partielle quelconque et la plus proche somme partielle « de fin de paquet ». Dans l'exemple de la question 2, $\varepsilon_{p} = 2$ pour tout $p$.

4. On note $x_{n}$, pour $n \geqslant 0$, le terme d'indice $n$ : $x_{n} = \frac{c_{n}}{\sqrt{n + 1}}$, où $c_{n}$ vaut $a$, $b$ ou $c$ selon que le reste de $n$ modulo $3$ vaut $0$, $1$ ou $2$. On regroupe par paquets de trois, avec $\varphi(p) = 3p$ : $$S_{p} = \frac{a}{\sqrt{3p + 1}} + \frac{b}{\sqrt{3p + 2}} + \frac{c}{\sqrt{3p + 3}}, \qquad \varepsilon_{p} \leqslant \frac{|a| + |b| + |c|}{\sqrt{3p + 1}} \xrightarrow[p \to +\infty]{} 0.$$ Par les questions 1 et 3, la série $\sum x_{n}$ converge si et seulement si $\sum S_{p}$ converge. Pour $j \in \{1, 2, 3\}$, le développement $(1 + x)^{-1/2} = 1 - \frac{x}{2} + O(x^{2})$ donne $$\frac{1}{\sqrt{3p + j}} = \frac{1}{\sqrt{3p}}\Big(1 + \frac{j}{3p}\Big)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{3p}} - \frac{j}{2(3p)^{3/2}} + O\Big(\frac{1}{p^{5/2}}\Big),$$

$$S_{p} = \frac{a + b + c}{\sqrt{3p}} - \frac{a + 2b + 3c}{2(3p)^{3/2}} + O\Big(\frac{1}{p^{5/2}}\Big).$$ Si $a + b + c \neq 0$, alors $S_{p} \sim \frac{a + b + c}{\sqrt{3p}}$, de signe constant, et $\sum S_{p}$ diverge (théorèmes 4 et 5). Si $a + b + c = 0$, alors $S_{p} = O\big(\frac{1}{p^{3/2}}\big)$, et $\sum S_{p}$ converge par la proposition 9, puisque $\frac{3}{2} > 1$. $$\boxed{\frac{a}{\sqrt{1}} + \frac{b}{\sqrt{2}} + \frac{c}{\sqrt{3}} + \frac{a}{\sqrt{4}} + \cdots \text{ converge} \iff a + b + c = 0}$$ Par exemple, avec $a = b = 1$ et $c = -2$, la série $\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}} + \cdots$ converge, alors que ses termes positifs, pris seuls, forment une série divergente : la compensation se fait à l'intérieur de chaque paquet.

Piège. La question 3 est indispensable : la question 1 ne dit rien dans le sens « $\sum S_{p}$ converge $\Rightarrow$ $\sum x_{n}$ converge ». L'erreur la plus répandue est de regrouper les termes sans vérifier que les paquets ont une taille bornée et des termes qui tendent vers $0$ ; ici, chaque paquet compte trois termes, et c'est ce qui donne $\varepsilon_{p} \to 0$.