Exercice 5

On pose, comme le suggère l'énoncé, $a_{n} = \ln(\ln n)$ pour $n \geqslant 2$. Le terme général s'écrit $$u_{n} = 2\ln\ln(n + 1) - \ln\ln n - \ln\ln(n + 2) = (a_{n + 1} - a_{n}) - (a_{n + 2} - a_{n + 1}) = d_{n} - d_{n + 1},$$ avec $d_{n} = a_{n + 1} - a_{n} = \ln\frac{\ln(n + 1)}{\ln n}$. Or $$\frac{\ln(n + 1)}{\ln n} = \frac{\ln n + \ln\big(1 + \frac{1}{n}\big)}{\ln n} = 1 + \frac{\ln\big(1 + \frac{1}{n}\big)}{\ln n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1,$$ donc $d_{n}$ tend vers $\ln 1 = 0$ par continuité du logarithme. La proposition 4, appliquée à la suite $(-d_{n})$, montre que la série converge, et, en sommant de $2$ à $N$, $$\sum_{n=2}^{N} u_{n} = d_{2} - d_{N + 1} \xrightarrow[N \to +\infty]{} d_{2} = \ln\frac{\ln 3}{\ln 2}.$$

$$\boxed{\text{La série converge, et } \sum_{n=2}^{+\infty} \ln\Big(\frac{\big(\ln(n + 1)\big)^{2}}{\ln n\,\ln(n + 2)}\Big) = \ln\Big(\frac{\ln 3}{\ln 2}\Big) \approx 0{,}4606}$$ La somme partielle jusqu'à $n = 10^{5}$ vaut $0{,}460560$, en accord avec cette valeur ✓. On aurait pu montrer la convergence par un développement asymptotique, mais il est laborieux ($u_{n}$ est de l'ordre de $\frac{1}{n^{2}\ln n}$) ; le télescopage donne la nature et la somme d'un coup.

Piège. L'erreur la plus répandue est de télescoper en une seule étape, en écrivant $u_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ : c'est une différence seconde, comme à l'exercice 4, et c'est la convergence de $d_{n}$ vers $0$, et non celle de $a_{n}$ (qui tend vers $+\infty$), qui assure la convergence.