Exercice 4

1. On note $u_{n}$ le terme général et l'on met $\ln n$ en facteur dans chaque logarithme. Par le développement $\ln(1 + x) = x + O(x^{2})$ (chapitre 10, théorème 5), $$u_{n} = (1 + a + b)\ln n + a\ln\Big(1 + \frac{1}{n}\Big) + b\ln\Big(1 + \frac{2}{n}\Big) = (1 + a + b)\ln n + \frac{a + 2b}{n} + O\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big).$$ On discute selon les coefficients.

• Si $1 + a + b \neq 0$, alors $|u_{n}|$ tend vers $+\infty$ : la série diverge grossièrement (proposition 2).

• Si $1 + a + b = 0$ et $a + 2b \neq 0$, alors $u_{n} \sim \frac{a + 2b}{n}$, de signe constant : par le théorème 4, appliqué à $u_{n}$ ou à $-u_{n}$, la série diverge comme la série harmonique.

• Si $1 + a + b = 0$ et $a + 2b = 0$, c'est-à-dire $a = -2$ et $b = 1$, alors $u_{n} = O\big(\frac{1}{n^{2}}\big)$, et la série converge (proposition 9, avec le théorème 5).

$$\boxed{\sum \big(\ln n + a\ln(n + 1) + b\ln(n + 2)\big) \text{ converge} \iff a = -2 \text{ et } b = 1}$$ Dans ce cas, on pose $d_{n} = \ln(n + 1) - \ln n = \ln\big(1 + \frac{1}{n}\big)$, qui tend vers $0$. Le terme général s'écrit $u_{n} = \big(\ln(n + 2) - \ln(n + 1)\big) - \big(\ln(n + 1) - \ln n\big) = d_{n + 1} - d_{n}$, et la proposition 4 donne $$\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \big(\ln n - 2\ln(n + 1) + \ln(n + 2)\big) = \lim_{n \to +\infty} d_{n} - d_{1} = -\ln 2}$$

2. On met cette fois $\sqrt{n}$ en facteur, et l'on utilise $\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} + O(x^{3})$ : $$v_{n} = \sqrt{n} + a\sqrt{n + 1} + b\sqrt{n + 2} = \sqrt{n}\,\Big((1 + a + b) + \frac{a + 2b}{2n} - \frac{a + 4b}{8n^{2}} + O\Big(\frac{1}{n^{3}}\Big)\Big).$$ Si $1 + a + b \neq 0$, alors $|v_{n}| \sim |1 + a + b|\sqrt{n}$ tend vers $+\infty$ : divergence grossière. Si $1 + a + b = 0$ et $a + 2b \neq 0$, alors $v_{n} \sim \frac{a + 2b}{2\sqrt{n}}$, de signe constant, et la série diverge par comparaison avec la série de Riemann d'exposant $\frac{1}{2}$. Si $a = -2$ et $b = 1$, alors $v_{n} \sim -\frac{1}{4n^{3/2}}$, de signe constant, et la série converge, puisque $\frac{3}{2} > 1$. $$\boxed{\sum \big(\sqrt{n} + a\sqrt{n + 1} + b\sqrt{n + 2}\big) \text{ converge} \iff a = -2 \text{ et } b = 1}$$ Le même télescopage, avec $\delta_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$, qui tend vers $0$, donne $v_{n} = \delta_{n + 1} - \delta_{n}$, et $$\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \big(\sqrt{n} - 2\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 2}\big) = -\delta_{1} = 1 - \sqrt{2} \approx -0{,}4142}$$ À retenir. La condition $1 + a + b = 0$ rend le terme général borné, la condition $a + 2b = 0$ le rend sommable : chaque condition tue un terme du développement asymptotique. Une fois la convergence acquise, la somme se calcule en reconnaissant une différence seconde $d_{n + 1} - d_{n}$, que la proposition 4 télescope. Les conditions trouvées sont les mêmes dans les deux questions, parce que les coefficients $(1, -2, 1)$ annulent toute fonction affine de $n$.