Exercice 3

1. Soit $k \in \mathbb{N}$. Pour $n < k$, le produit $n(n - 1)\cdots(n - k + 1)$ contient le facteur $n - n = 0$ : le terme est nul. Pour $n \geqslant k$, il vaut $\frac{n!}{(n - k)!}$, et le terme général vaut $\frac{1}{(n - k)!}$. Pour $N \geqslant k$, en posant $m = n - k$, $$\sum_{n=0}^{N} \frac{n(n - 1)\cdots(n - k + 1)}{n!} = \sum_{n=k}^{N} \frac{1}{(n - k)!} = \sum_{m=0}^{N - k} \frac{1}{m!},$$ qui tend vers $\mathrm{e}$ par le théorème 2 appliqué en $z = 1$. $$\boxed{\text{Pour tout } k \in \mathbb{N}, \quad \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n(n - 1)\cdots(n - k + 1)}{n!} = \mathrm{e}}$$

2. On décompose $n^{2} + 2n + 3$ sur les polynômes $1$, $X$, $X(X - 1)$ : comme $n^{2} = n(n - 1) + n$, on a $n^{2} + 2n + 3 = n(n - 1) + 3n + 3$. Par linéarité (proposition 1 (i)) et la question 1, pour $k = 2$, $1$ et $0$ : $$\boxed{\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^{2} + 2n + 3}{n!} = \mathrm{e} + 3\mathrm{e} + 3\mathrm{e} = 7\mathrm{e}}$$ Pour $n^{4}$, on cherche des réels $c_{0}$, …, $c_{4}$ tels que $$X^{4} = c_{4}X(X - 1)(X - 2)(X - 3) + c_{3}X(X - 1)(X - 2) + c_{2}X(X - 1) + c_{1}X + c_{0}.$$ Ces cinq polynômes sont de degrés échelonnés $4$, $3$, $2$, $1$, $0$ : ils forment une base de $\mathbb{R}_{4}[X]$ (chapitre 14, proposition 10), et la décomposition existe et est unique. Le coefficient dominant donne $c_{4} = 1$. On évalue ensuite en $0$, $1$, $2$, $3$, où les premiers polynômes s'annulent : $$0 = c_{0}, \qquad 1 = c_{1}, \qquad 16 = 2c_{2} + 2c_{1}, \qquad 81 = 6c_{3} + 6c_{2} + 3c_{1},$$ d'où $c_{2} = 7$ et $c_{3} = \frac{81 - 42 - 3}{6} = 6$. Ainsi $n^{4} = n(n - 1)(n - 2)(n - 3) + 6n(n - 1)(n - 2) + 7n(n - 1) + n$, et $$\boxed{\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^{4}}{n!} = (1 + 6 + 7 + 1)\,\mathrm{e} = 15\mathrm{e}}$$ On contrôle l'identité en $n = 4$ : $24 + 6 \times 24 + 7 \times 12 + 4 = 256 = 4^{4}$ ✓.

À retenir. Les polynômes $X(X - 1)\cdots(X - k + 1)$ jouent pour les séries $\sum \frac{P(n)}{n!}$ le rôle des monômes : le décalage d'indice les transforme tous en la série de $\mathrm{e}$. Le coefficient de $\mathrm{e}$ obtenu pour $\sum \frac{n^{k}}{n!}$, qui vaut $1$, $1$, $2$, $5$, $15$ pour $k = 0$, …, $4$, est le nombre de façons de partager un ensemble à $k$ éléments en parties non vides ; nous ne le démontrerons pas.