Exercice 2

Dans les trois cas, le terme général est positif et équivalent à $\frac{1}{k^{2}}$, $\frac{1}{k^{3}}$ et $\frac{1}{k^{p + 1}}$ : les trois séries convergent par le théorème 4 et les séries de Riemann (théorème 5), puisque $p + 1 \geqslant 2 > 1$. Pour la somme, on fait apparaître un télescopage (proposition 4).

Première série. La décomposition en éléments simples (chapitre 13) donne, pour $k \geqslant 2$, $$\frac{1}{k^{2} - 1} = \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k + 1}\Big), \qquad \sum_{k=2}^{N} \frac{1}{k^{2} - 1} = \frac{1}{2}\Big(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{N} - \frac{1}{N + 1}\Big),$$ puisque les termes $\frac{1}{3}$, …, $\frac{1}{N - 1}$ apparaissent une fois avec chaque signe. $$\boxed{\sum_{k=2}^{+\infty} \frac{1}{k^{2} - 1} = \frac{3}{4}}$$

Deuxième série. On écrit le terme comme une différence de deux termes consécutifs de la suite $\big(\frac{1}{k(k + 1)}\big)$ : $$\frac{1}{k(k + 1)} - \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{(k + 2) - k}{k(k + 1)(k + 2)} = \frac{2}{k(k + 1)(k + 2)},$$ d'où, par télescopage, $$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)} = \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{2} - \frac{1}{(N + 1)(N + 2)}\Big).$$

Troisième série. Le même calcul se fait avec $p$ facteurs. Posons $a_{k} = \frac{1}{k(k + 1)\cdots(k + p - 1)}$ pour $k \geqslant 1$. Les deux produits $k(k + 1)\cdots(k + p - 1)$ et $(k + 1)\cdots(k + p)$ ont pour multiple commun $k(k + 1)\cdots(k + p)$, d'où $$a_{k} - a_{k + 1} = \frac{(k + p) - k}{k(k + 1)\cdots(k + p)} = \frac{p}{k(k + 1)\cdots(k + p)}.$$ Par la proposition 4, comme $a_{k}$ tend vers $0$ et que $a_{1} = \frac{1}{p!}$, $$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k(k + 1)\cdots(k + p)} = \frac{1}{p}\big(a_{1} - a_{N + 1}\big) \xrightarrow[N \to +\infty]{} \frac{a_{1}}{p}, \qquad \boxed{\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k + 1)\cdots(k + p)} = \frac{1}{p \cdot p!}}$$ Pour $p = 1$, on retrouve $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k + 1)} = 1$, exemple qui suit la proposition 4, et pour $p = 2$ la deuxième série ✓. Pour $p = 3$, la somme vaut $\frac{1}{18}$.

À retenir. Le télescopage est la seule méthode de ce chapitre qui donne une somme exacte sans autre outil ; il repose toujours sur une écriture $u_{k} = a_{k} - a_{k + 1}$, qu'on lit ici sur des produits de facteurs consécutifs. L'erreur la plus répandue est de décomposer complètement en éléments simples, ce qui fait apparaître $p + 1$ fractions dont le télescopage, bien réel, est beaucoup plus pénible à organiser.