Exercice 53

1. Comme $|z| < 1$, les séries géométriques $\sum_{p} |z|^{2p}$ et $\sum_{q} |z|^{3q}$ convergent (théorème 1), c'est-à-dire que les familles $(z^{2p})_{p \in \mathbb{N}}$ et $(z^{3q})_{q \in \mathbb{N}}$ sont sommables (proposition 12 (iv)). Par la proposition 15, la famille des produits $z^{2p}z^{3q} = z^{2p+3q}$ est sommable, et sa somme est le produit des deux sommes : $$\boxed{S(z) = \sum_{(p,q) \in \mathbb{N}^{2}} z^{2p+3q} = \frac{1}{(1 - z^{2})(1 - z^{3})}}$$

2. Pour $n \in \mathbb{N}$, soit $I_{n} = \{(p, q) \in \mathbb{N}^{2} \mid 2p + 3q = n\}$. Ces parties sont finies et forment une partition de $\mathbb{N}^{2}$, et le terme vaut $z^{n}$ sur $I_{n}$. Par la sommation par paquets (théorème 10), la famille $(d_{n}z^{n})_{n \in \mathbb{N}}$, avec $d_{n} = \operatorname{card} I_{n}$, est sommable, c'est-à-dire que la série $\sum d_{n}z^{n}$ converge absolument, et $$\boxed{S(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} d_{n}z^{n}, \qquad d_{n} = \operatorname{card}\{(p, q) \in \mathbb{N}^{2} \mid 2p + 3q = n\}}$$ L'entier $d_{n}$ est le nombre de façons de payer la somme $n$ avec des pièces de $2$ et de $3$ unités, seul le nombre de pièces de chaque sorte comptant. On les obtient en choisissant le nombre $q$ de pièces de $3$, de même parité que $n$ et au plus égal à $\frac{n}{3}$. Pour $n \leqslant 12$, on trouve $$\boxed{(d_{0}, \dots, d_{12}) = (1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3)}$$ par exemple $d_{12} = 3$ pour $12 = 6 \times 2 = 3 \times 2 + 2 \times 3 = 4 \times 3$. On a de plus $d_{n+6} = d_{n} + 1$ : l'application $(p, q) \mapsto (p, q + 2)$ est une bijection de $I_{n}$ sur les couples de $I_{n+6}$ tels que $q \geqslant 2$, et il y a exactement un couple de $I_{n+6}$ tel que $q \in \{0, 1\}$, celui pour lequel $q$ a la parité de $n$. On en déduit $$\boxed{d_{n} = \Big\lfloor\frac{n}{6}\Big\rfloor + 1 \ \text{ si } n \not\equiv 1 \;[6], \qquad d_{n} = \Big\lfloor\frac{n}{6}\Big\rfloor \ \text{ si } n \equiv 1 \;[6]}$$ ce qui a été contrôlé par énumération jusqu'à $n = 59$ ✓. L'exercice 35 de la feuille du chapitre 10 obtenait de la même façon le nombre de façons de payer $10$ centimes avec des pièces de $1$, $2$ et $5$, comme coefficient d'un développement limité. Ici, la sommation par paquets donne d'un coup tous les coefficients, sans troncature, et justifie le développement du produit de deux séries infinies.

3. Si $|z| = 1$, tous les termes $z^{2p+3q}$ sont de module $1$, et $\sum_{(p,q)} |z^{2p+3q}| = +\infty$ : la famille $\boxed{\text{n'est pas sommable}}$. La série $\sum d_{n}z^{n}$ diverge aussi grossièrement, puisque $|d_{n}z^{n}| = d_{n} \geqslant \lfloor\frac{n}{6}\rfloor$ tend vers $+\infty$.

Piège. Pour $z = \mathrm{i}$, l'expression $\frac{1}{(1 - z^{2})(1 - z^{3})} = \frac{1}{2(1 + \mathrm{i})}$ est parfaitement définie, alors que la famille n'est pas sommable : une formule obtenue pour $|z| < 1$ ne dit rien au-delà. L'erreur la plus répandue est d'étendre un résultat jusqu'au bord du domaine où il a été démontré.