Exercice 52

On note $\operatorname{sgn}$ la fonction signe de l'énoncé. Pour $i \neq j$, on a $|a_{i,j}| = 2^{-|i - j|}$, et $a_{i,i} = 0$. La famille est antisymétrique : $a_{j,i} = -a_{i,j}$ pour tous $i$, $j$, puisque $\operatorname{sgn}(j - i) = -\operatorname{sgn}(i - j)$.

1. Soit $j \in \mathbb{N}$. Dans la colonne d'indice $j$, il n'y a qu'un nombre fini de termes non nuls d'indice $i < j$, et les termes d'indice $i > j$ forment une série géométrique de raison $\frac{1}{2}$ (théorème 1) : la série $\sum_{i} a_{i,j}$ converge, et $$\sum_{i=0}^{+\infty} a_{i,j} = -\sum_{i=0}^{j-1} \frac{1}{2^{j - i}} + \sum_{i=j+1}^{+\infty} \frac{1}{2^{i - j}} = -\sum_{m=1}^{j} \frac{1}{2^{m}} + \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{1}{2^{m}} = -\Big(1 - \frac{1}{2^{j}}\Big) + 1,$$ en posant $m = j - i$ dans la première somme et $m = i - j$ dans la seconde. Ainsi $$\boxed{\sum_{i=0}^{+\infty} a_{i,j} = \frac{1}{2^{j}}} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\sum_{j=0}^{+\infty}\,\sum_{i=0}^{+\infty} a_{i,j} = \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{j}} = 2}$$

2. Par antisymétrie, la ligne d'indice $i$ est l'opposée de la colonne d'indice $i$ : pour tout $i$, $\sum_{j} a_{i,j} = -\sum_{j} a_{j,i}$ converge et vaut $-\frac{1}{2^{i}}$. D'où $$\boxed{\sum_{i=0}^{+\infty}\,\sum_{j=0}^{+\infty} a_{i,j} = -\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{i}} = -2}$$ Si la famille était sommable, le théorème de Fubini (théorème 11) donnerait l'égalité des deux sommes itérées, et l'on aurait $2 = -2$. Donc $\boxed{(a_{i,j})_{(i,j) \in \mathbb{N}^{2}} \text{ n'est pas sommable}}$.

Les termes positifs, sous la diagonale, sont en bleu, les négatifs, au-dessus, en ocre ; les sommes des lignes et des colonnes, en rouge, sont opposées, et chaque ligne comme chaque colonne a une infinité de termes non nuls.

3. La sous-famille $(a_{j+1,j})_{j \in \mathbb{N}}$, juste sous la diagonale, est constante égale à $\frac{1}{2}$. Par croissance (proposition 10 (iii)), $$\sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^{2}} |a_{i,j}| \geqslant \sum_{j \in \mathbb{N}} |a_{j+1,j}| = \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{2} = +\infty,$$ donc $\boxed{\text{la famille n'est pas sommable}}$. Plus précisément, le théorème de Fubini positif (théorème 9) donne $\sum_{(i,j)} |a_{i,j}| = \sum_{j} \big(2 - 2^{-j}\big) = +\infty$, chaque colonne des modules ayant pour somme $(1 - 2^{-j}) + 1$.

Dans l'exemple du cours (section 20.7.2), chaque ligne et chaque colonne n'a qu'un nombre fini de termes non nuls, et les sommes de lignes et de colonnes sont des sommes finies. Ici, chaque ligne et chaque colonne est une série absolument convergente, de somme des modules au plus $2$ : même cette condition plus forte ne suffit pas.

Piège. L'erreur la plus répandue est de croire que la convergence absolue de chaque ligne et de chaque colonne autorise l'interversion. Le théorème 11 exige la sommabilité de la famille double tout entière, qui se vérifie par le théorème 9 sur les modules : ici, les colonnes des modules ont des sommes bornées, mais leur nombre infini fait diverger le total.