Exercice 54

On pose $r = |x| < 1$. Pour tout $n \geqslant 1$, on a $|x^{n}| = r^{n} < 1$, donc $1 - x^{n} \neq 0$, et la série géométrique donne $\frac{x^{n}}{1 - x^{n}} = \sum_{k=1}^{+\infty} x^{nk}$ (théorème 1). Tout repose sur la famille $(x^{nk})_{(n,k) \in (\mathbb{N}^{*})^{2}}$.

Sommabilité. Par le théorème de Fubini positif (théorème 9), puis la majoration $1 - r^{n} \geqslant 1 - r$, $$\sum_{(n,k) \in (\mathbb{N}^{*})^{2}} r^{nk} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{r^{n}}{1 - r^{n}} \leqslant \frac{1}{1 - r}\sum_{n=1}^{+\infty} r^{n} = \frac{r}{(1 - r)^{2}} < +\infty.$$ La famille $(x^{nk})$ est donc sommable. Le théorème de Fubini (théorème 11), par lignes, montre que la série $\sum \frac{x^{n}}{1 - x^{n}}$ converge, et que $$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{1 - x^{n}} = \sum_{(n,k) \in (\mathbb{N}^{*})^{2}} x^{nk}.$$

(a) On partage $(\mathbb{N}^{*})^{2}$ en $D_{<} = \{k < n\}$, $D_{=} = \{k = n\}$ et $D_{>} = \{k > n\}$. Le théorème 10 donne $$\sum_{(n,k)} x^{nk} = \sum_{D_{<}} x^{nk} + \sum_{D_{=}} x^{nk} + \sum_{D_{>}} x^{nk}.$$ L'échange $(n, k) \mapsto (k, n)$ est une bijection de $D_{<}$ sur $D_{>}$ qui conserve le produit $nk$ : par la proposition 13 (iv), les sommes sur $D_{>}$ et sur $D_{<}$ sont égales. La somme sur $D_{=}$ est celle de la série absolument convergente $\sum x^{n^{2}}$. Enfin, en sommant $D_{<}$ par lignes (théorème 10, paquets $\{n\} \times [\![1\,;n - 1]\!]$), la ligne $n$ est une somme géométrique finie : $$\sum_{k=1}^{n-1} x^{nk} = x^{n}\,\frac{1 - x^{n(n-1)}}{1 - x^{n}} = \frac{x^{n} - x^{n^{2}}}{1 - x^{n}}.$$ Les trois sommes existent, et $$\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{1 - x^{n}} = 2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n} - x^{n^{2}}}{1 - x^{n}} + \sum_{n=1}^{+\infty} x^{n^{2}}}$$ En groupant les couples selon la valeur $N = nk$ (théorème 10, paquets finis), le paquet de $N$ contient un couple $(d, \frac{N}{d})$ par diviseur $d$ de $N$, d'où $\boxed{a_{N} = d(N)}$, le nombre de diviseurs positifs de $N$. Le membre de droite compte ces diviseurs autrement : le couple $(n, k)$ est dans $D_{<}$ lorsque $k < \sqrt{N}$, dans $D_{=}$ lorsque $N = k^{2}$. Les diviseurs vont par paires $\{k, \frac{N}{k}\}$, l'un inférieur et l'autre supérieur à $\sqrt{N}$, sauf $\sqrt{N}$ lorsque $N$ est un carré : $$d(N) = 2\,\operatorname{card}\{k \mid N,\ k < \sqrt{N}\} + \big(1 \text{ si } N \text{ est un carré, } 0 \text{ sinon}\big).$$ Par exemple $d(12) = 2 \times 3 = 6$, avec $1$, $2$, $3$ inférieurs à $\sqrt{12}$, et $d(16) = 2 \times 2 + 1 = 5$.

(b) La famille $(x^{mk})$, indexée par les couples $(m, k)$ avec $m$ impair et $k \geqslant 1$, est une sous-famille de la précédente, donc sommable (proposition 12 (ii)). On la somme de deux façons par le théorème de Fubini. À $m = 2n - 1$ fixé, la somme sur $k$ vaut $\frac{x^{2n-1}}{1 - x^{2n-1}}$ ; à $k = i$ fixé, la somme sur $m = 2j + 1$ est géométrique de raison $x^{2i}$, de module $r^{2i} < 1$ : $$\sum_{j=0}^{+\infty} x^{i(2j+1)} = \frac{x^{i}}{1 - x^{2i}}, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2n-1}}{1 - x^{2n-1}} = \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{x^{i}}{1 - x^{2i}}}$$ En groupant selon $N = mk$, le coefficient $a_{N}$ est le nombre de couples $(m, k)$ avec $m$ impair et $mk = N$, c'est-à-dire $\boxed{a_{N} = \text{nombre de diviseurs impairs de } N}$. Par exemple, $a_{12} = 2$, pour les diviseurs $1$ et $3$.

(c) La famille $(i\,x^{ik})_{(i,k) \in (\mathbb{N}^{*})^{2}}$ est sommable : par le théorème 9, $$\sum_{(i,k)} i\,r^{ik} = \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{i\,r^{i}}{1 - r^{i}} \leqslant \frac{1}{1 - r}\sum_{i=1}^{+\infty} i\,r^{i} = \frac{r}{(1 - r)^{3}} < +\infty,$$ la série $\sum i\,r^{i}$ convergeant d'après le second exemple de produit de Cauchy de la section 20.7.4. Le théorème 11, par lignes, donne la somme demandée, en notant $n$ l'indice de ligne : $$\boxed{\sum_{(i,k) \in (\mathbb{N}^{*})^{2}} i\,x^{ik} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n\,x^{n}}{1 - x^{n}}}$$ En groupant selon $N = ik$, le paquet de $N$ apporte $\sum_{i \mid N} i\,x^{N}$, d'où $\boxed{a_{N} = \sigma(N)}$, la somme des diviseurs positifs de $N$ ; par exemple $\sigma(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28$.

Les trois identités et les trois interprétations ont été contrôlées numériquement en $x = 0{,}37$ et en deux valeurs complexes, $0{,}5 + 0{,}3\,\mathrm{i}$ et $-0{,}6 + 0{,}2\,\mathrm{i}$ ✓.

À retenir. Une seule famille double, $(x^{nk})$, sommée par lignes, par colonnes, par diagonales $nk = N$ ou par morceaux du quadrant, produit toutes ces identités. La sommabilité, établie une fois pour toutes par le théorème 9 sur les modules, rend chacun de ces regroupements légitime ; c'est la méthode du cours de la section 20.7.2.