Exercice 55

1. Soit $z = x + \mathrm{i} y$ avec $y > 0$, et $(a, b) \in \mathbb{R}^{2}$. Comme $a$ et $b$ sont réels, $\operatorname{Im}(az + b) = ay$, donc $$|az + b| \geqslant |a|\,y. \tag{$\ast$}$$ Premier cas : $|b| \geqslant 2|a|\,|z|$. Par l'inégalité triangulaire, $|az + b| \geqslant |b| - |a|\,|z| \geqslant \frac{|b|}{2}$. Avec $(\ast)$, on obtient $|az + b| \geqslant \max\big(\frac{|b|}{2}, y|a|\big) \geqslant \min\big(\frac{1}{2}, y\big)\max(|a|, |b|)$.

Second cas : $|b| < 2|a|\,|z|$. Alors $\max(|a|, |b|) \leqslant \max(1, 2|z|)\,|a|$, et $(\ast)$ donne $$|az + b| \geqslant \frac{y}{\max(1, 2|z|)}\max(|a|, |b|).$$

Comme $\frac{y}{\max(1, 2|z|)} \leqslant y$, les deux cas donnent le résultat avec $$\boxed{c_{z} = \min\Big(\frac{1}{2}, \frac{y}{\max(1, 2|z|)}\Big) > 0, \qquad |az + b| \geqslant c_{z}\max(|a|, |b|) \text{ pour tout } (a, b) \in \mathbb{R}^{2}}$$ La minoration a été testée sur $20\,000$ triplets $(z, a, b)$ tirés au hasard ✓.

2. Les couples tels que $\max(|n|, |m|) \leqslant N$ forment le carré $[\![-N\,;N]\!]^{2}$, de $(2N + 1)^{2}$ éléments ; ceux pour lesquels le maximum vaut exactement $N$ sont ceux de ce carré qui ne sont pas dans $[\![-(N-1)\,;N-1]\!]^{2}$ : $$\boxed{\operatorname{card}\{(n, m) \in \mathbb{Z}^{2} \mid \max(|n|, |m|) = N\} = (2N + 1)^{2} - (2N - 1)^{2} = 8N}$$ Soit $k \geqslant 3$ et $z \in \mathbb{H}$. Par la question 1 avec $(a, b) = (n, m)$, pour $(n, m) \neq (0, 0)$, $$\frac{1}{|nz + m|^{k}} \leqslant \frac{1}{c_{z}^{k}\max(|n|, |m|)^{k}}.$$ On somme ce majorant positif par paquets selon la valeur $N \geqslant 1$ de $\max(|n|, |m|)$ (théorème 8) : chaque paquet a $8N$ éléments, d'où $$\sum_{(n,m) \neq (0,0)} \frac{1}{c_{z}^{k}\max(|n|, |m|)^{k}} = \frac{8}{c_{z}^{k}}\sum_{N=1}^{+\infty} \frac{1}{N^{k-1}} < +\infty,$$ puisque $k - 1 \geqslant 2 > 1$ (théorème 5). Par domination (proposition 12 (i)), $$\boxed{\Big(\frac{1}{(nz + m)^{k}}\Big)_{(n,m) \neq (0,0)} \text{ est sommable pour } k \geqslant 3 \text{ et } z \in \mathbb{H}}$$ Le seuil est exact : comme $|nz + m| \leqslant (|z| + 1)\max(|n|, |m|)$, le même découpage minore la somme des modules par $\frac{8}{(|z| + 1)^{k}}\sum_{N} \frac{1}{N^{k-1}}$, infinie pour $k = 2$. Comme dans la section 20.6.4 du cours, le seuil $k \geqslant 3$, et non $k \geqslant 2$, vient de ce que le paquet de rang $N$ a un nombre d'éléments proportionnel à $N$.

3. L'application $(n, m) \mapsto (-n, -m)$ est une bijection de $\mathbb{Z}^{2} \setminus \{(0, 0)\}$ sur lui-même. Par l'invariance par permutation (proposition 13 (iv)), puis la linéarité, pour $k$ impair, $$G_{k}(z) = \sum_{(n,m) \neq (0,0)} \frac{1}{(-nz - m)^{k}} = (-1)^{k}\,G_{k}(z) = -G_{k}(z), \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{G_{k}(z) = 0 \ \text{ pour } k \text{ impair}}$$

4. Soit $k$ pair ; comme $k \geqslant 3$, on a $k \geqslant 4$. On partage $\mathbb{Z}^{2} \setminus \{(0, 0)\}$ en la partie où $n = 0$ et celle où $n \neq 0$ (théorème 10). Sur la première, le terme vaut $\frac{1}{m^{k}}$ avec $m \neq 0$ ; comme $k$ est pair, les indices $m$ et $-m$ donnent le même terme, et cette partie a pour somme $2\zeta(k)$. Ainsi $G_{k}(\mathrm{i} y) = 2\zeta(k) + T(y)$, avec $$T(y) = \sum_{n \neq 0,\ m \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(n\mathrm{i} y + m)^{k}}.$$ Soit $y \geqslant 1$ et $n \neq 0$. Alors $|n\mathrm{i} y + m|^{2} = n^{2}y^{2} + m^{2}$ est au moins égal à $n^{2} + m^{2}$, puisque $y \geqslant 1$, et au moins égal à $n^{2}y^{2} \geqslant y^{2}$. En écrivant $|n\mathrm{i} y + m|^{k} = |n\mathrm{i} y + m| \cdot |n\mathrm{i} y + m|^{k-1}$, on obtient l'inégalité de l'énoncé : $$\Big|\frac{1}{(n\mathrm{i} y + m)^{k}}\Big| \leqslant \frac{1}{y}\,\frac{1}{(n^{2} + m^{2})^{(k-1)/2}}.$$ Comme $n^{2} + m^{2} \geqslant \max(|n|, |m|)^{2}$, la sommation par paquets de la question 2 donne $$C_{k} = \sum_{(n,m) \neq (0,0)} \frac{1}{(n^{2} + m^{2})^{(k-1)/2}} \leqslant \sum_{N=1}^{+\infty} \frac{8N}{N^{k-1}} = 8\sum_{N=1}^{+\infty} \frac{1}{N^{k-2}} < +\infty,$$ puisque $k - 2 \geqslant 2$. Par la proposition 13 (ii), $|T(y)| \leqslant \frac{C_{k}}{y}$, qui tend vers $0$ quand $y$ tend vers $+\infty$ : $$\boxed{G_{k}(\mathrm{i} y) \xrightarrow[y \to +\infty]{} 2\zeta(k) \quad (k \text{ pair})}$$ Pour $k = 4$, on a $2\zeta(4) = \frac{\pi^{4}}{45} \approx 2{,}164646$, et la somme des termes pour $|n|, |m| \leqslant 200$ donne $G_{4}(3\mathrm{i}) \approx 2{,}164650$ : dès $y = 3$, la contribution des $n \neq 0$ est minuscule ✓.

Piège. La majoration de la question 4 perd une puissance : $C_{k}$ n'est fini que pour $k \geqslant 4$. Elle ne vaudrait rien pour $k = 3$, mais c'est sans importance, puisque $G_{3} = 0$. L'erreur la plus répandue est d'écrire $G_{k}(\mathrm{i} y) = \sum_{n}\sum_{m}$ et de faire tendre $y$ vers $+\infty$ terme à terme : on n'a aucun théorème pour passer à la limite dans une somme infinie, et c'est la majoration uniforme par $\frac{C_{k}}{y}$ qui remplace ce passage à la limite.

À retenir. Ces sommes sont les séries d'Eisenstein. Leur sommabilité repose sur deux ingrédients du chapitre : la minoration de $|nz + m|$ par la « norme » $\max(|n|, |m|)$ du couple, et le dénombrement des couples de norme $N$.