Exercice 56

1. Faux. La série harmonique $\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n}$ a un terme général qui tend vers $0$, et elle diverge (théorème 5). La proposition 2 ne donne qu'une condition nécessaire.

2. Vrai. Comme $\sum u_{n}$ converge, $u_{n}$ tend vers $0$ (proposition 2), donc $0 \leqslant u_{n} \leqslant 1$ à partir d'un certain rang, et alors $0 \leqslant u_{n}^{2} \leqslant u_{n}$. Le théorème 3 donne la convergence de $\sum u_{n}^{2}$. L'hypothèse de signe est indispensable : $\sum \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ converge (théorème 7), alors que la série des carrés est la série harmonique.

3. Faux. Pour $n \geqslant 1$, soit $u_{n} = \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ et $v_{n} = \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$. On a $\frac{v_{n}}{u_{n}} = 1 + \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$, qui tend vers $1$, donc $u_{n} \sim v_{n}$. La série $\sum u_{n}$ converge par le théorème 7, et $\sum v_{n}$ diverge, comme somme d'une série convergente et d'une série divergente (proposition 1 (ii)). Le théorème 4 exige que l'une des suites soit de signe constant à partir d'un certain rang ; c'est la seconde remarque qui suit le théorème 7.

4. Vrai. Soit $\sigma$ une bijection de $\mathbb{N}$ sur $\mathbb{N}$. La suite $(u_{n})$ est sommable (proposition 12 (iv)) ; par la proposition 13 (iv), la suite $(u_{\sigma(n)})$ l'est aussi et a la même somme, c'est-à-dire que $\sum u_{\sigma(n)}$ converge absolument et que $\sum_{n=0}^{+\infty} u_{\sigma(n)} = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n}$ (proposition 13 (iii)). C'est l'observation de Dirichlet, première remarque qui suit la proposition 13.

5. Faux. La série $\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n}}{n}$ converge (théorème 7), alors que $u_{2n} = \frac{1}{2n}$ est le terme général d'une série divergente. Extraire les termes d'indice pair revient à supprimer tous les termes négatifs : la compensation qui assurait la convergence disparaît.

6. Vrai. Pour deux réels positifs $a$ et $b$, on a $\sqrt{ab} \leqslant \frac{a + b}{2}$, puisque $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} \geqslant 0$. Ainsi $0 \leqslant \sqrt{u_{n}v_{n}} \leqslant \frac{u_{n} + v_{n}}{2}$, terme général d'une série convergente (proposition 1 (i)), et le théorème 3 conclut.

7. Vrai. On a $u_{n} = u_{n}^{+} - u_{n}^{-}$ et $|u_{n}| = u_{n}^{+} + u_{n}^{-}$. Si $\sum u_{n}^{+}$ convergeait, alors $\sum u_{n}^{-} = \sum (u_{n}^{+} - u_{n})$ convergerait aussi (proposition 1 (i)), puis $\sum |u_{n}| = \sum (u_{n}^{+} + u_{n}^{-})$, contrairement à l'hypothèse. De même en échangeant les rôles de $u^{+}$ et $u^{-}$. C'est la première question de l'exercice 44, point de départ du théorème de réarrangement de Riemann.

8. Vrai. Soit $M$ un majorant de $(|v_{n}|)$. Alors $|u_{n}v_{n}| \leqslant M|u_{n}|$, terme général d'une série convergente : $\sum u_{n}v_{n}$ converge absolument (théorème 3), donc converge (théorème 6). L'hypothèse de convergence absolue est indispensable : avec $u_{n} = v_{n} = \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$, la suite $(v_{n})$ est bornée et $\sum u_{n}v_{n}$ est la série harmonique.

9. Faux. Soit $a_{p,p} = \frac{(-1)^{p}}{p + 1}$ pour $p \in \mathbb{N}$, et $a_{p,q} = 0$ si $p \neq q$. Chaque ligne et chaque colonne n'a qu'un terme non nul, et les deux sommes itérées sont égales à $$\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{p}}{p + 1} = \ln 2,$$ somme de la série harmonique alternée donnée par le cours. Pourtant, $\sum_{(p,q)} |a_{p,q}| = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{1}{p + 1} = +\infty$ : la famille n'est pas sommable. L'égalité des deux sommes itérées ne suffit pas ; c'est la somme itérée des modules qui décide, par le théorème 9.

10. Vrai. Les familles $\big((-\frac{1}{2})^{p}\big)_{p \in \mathbb{N}}$ et $\big((-\frac{1}{3})^{q}\big)_{q \in \mathbb{N}}$ sont sommables (théorème 1 et proposition 12 (iv)). Par la proposition 15, la famille de leurs produits, qui est la famille de l'énoncé, est sommable, et $$\sum_{(p,q) \in \mathbb{N}^{2}} \frac{(-1)^{p+q}}{2^{p}\,3^{q}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}.$$

$$\boxed{\text{Vrai : } 2, 4, 6, 7, 8, 10 ; \qquad \text{Faux : } 1, 3, 5, 9}$$ Piège. Les assertions 3, 5 et 9 sont fausses pour la même raison de fond : une série semi-convergente n'est convergente que grâce à la compensation entre termes positifs et négatifs, et toute opération qui touche à cette compensation, remplacer par un équivalent, extraire, réordonner ou regrouper autrement, peut la détruire. Les assertions 2, 4, 6 et 8, qui reposent sur la positivité ou la convergence absolue, sont au contraire à l'abri de ce phénomène.