Exercice 57

1. Un entier de $E$ à $k$ chiffres a son premier chiffre pris dans $\{1, \dots, 9\} \setminus \{7\}$, qui a $8$ éléments, et chacun des $k - 1$ autres dans $\{0, \dots, 9\} \setminus \{7\}$, qui en a $9$. Par l'unicité de l'écriture décimale, le nombre cherché est le cardinal d'un produit cartésien : $$\boxed{\operatorname{card} E_{k} = 8 \times 9^{k-1}}, \qquad E_{k} = E \cap [\![10^{k-1}\,;10^{k} - 1]\!].$$

2. Les entiers de $[\![1\,;10^{k} - 1]\!]$ sont ceux qui ont au plus $k$ chiffres. Par la question 1 et la somme géométrique, $$\operatorname{card}\big(E \cap [\![1\,;10^{k} - 1]\!]\big) = \sum_{j=1}^{k} 8 \times 9^{j-1} = 8\,\frac{9^{k} - 1}{9 - 1} = 9^{k} - 1,$$ et la proportion cherchée vaut $$\boxed{\frac{9^{k} - 1}{10^{k} - 1} \leqslant \frac{9^{k}}{10^{k} - 1} \leqslant 2\Big(\frac{9}{10}\Big)^{k} \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0}$$ en utilisant $10^{k} - 1 \geqslant \frac{10^{k}}{2}$. Parmi les entiers d'au plus $20$ chiffres, la proportion de ceux qui n'ont pas de $7$ est déjà inférieure à $0{,}13$ : presque tous les entiers contiennent un $7$.

3. Les parties $E_{k}$, pour $k \geqslant 1$, forment une partition de $E$. Chaque élément de $E_{k}$ est au moins égal à $10^{k-1}$, donc, par la question 1, $$\sum_{n \in E_{k}} \frac{1}{n} \leqslant \frac{8 \times 9^{k-1}}{10^{k-1}} = 8\Big(\frac{9}{10}\Big)^{k-1}.$$ La sommation par paquets dans $[0\,,+\infty]$ (théorème 8) et la série géométrique donnent $$\sum_{n \in E} \frac{1}{n} = \sum_{k=1}^{+\infty}\,\sum_{n \in E_{k}} \frac{1}{n} \leqslant 8\sum_{k=1}^{+\infty} \Big(\frac{9}{10}\Big)^{k-1} = \frac{8}{1 - \frac{9}{10}} = 80,$$ donc $\boxed{\big(\frac{1}{n}\big)_{n \in E} \text{ est sommable, de somme au plus } 80}$. La convergence est très lente : la somme des $\frac{1}{n}$ pour $n \in E$ et $n < 10^{7}$ ne vaut encore qu'environ $11{,}99$ ✓.

Pour la série harmonique, le paquet des entiers à $k$ chiffres contribue $H_{10^{k}-1} - H_{10^{k-1}-1}$, qui tend vers $\ln 10$ par la proposition 7 : chaque paquet apporte à peu près la même quantité, et la somme diverge. Pour $E$, les contributions décroissent comme $(\frac{9}{10})^{k}$, car le nombre d'éléments du paquet croît comme $9^{k}$ et non comme $10^{k}$. Par le théorème 8, la famille des $\frac{1}{n}$, où $n$ parcourt les entiers qui contiennent un $7$, n'est pas sommable, puisque sa somme, ajoutée à une somme finie, donne $+\infty$.

À retenir. La convergence d'une somme d'inverses ne se lit pas sur une proportion, mais sur la vitesse à laquelle les éléments se raréfient d'un paquet au suivant. On retrouvera ce point de vue à l'exercice 59, qui compare de la même façon les nombres premiers et les carrés.