Exercice 58

1. Existence. Soit $m \geqslant 2$ et $m = p_{1}^{\alpha_{1}}\cdots p_{\ell}^{\alpha_{\ell}}$ sa décomposition en facteurs premiers (chapitre 12, théorème 6). On note $g$ le plus grand entier qui divise tous les exposants $\alpha_{i}$ ; il existe, puisque ces diviseurs communs sont compris entre $1$ et $\alpha_{1}$. On pose $r = g$ et $a = p_{1}^{\alpha_{1}/g}\cdots p_{\ell}^{\alpha_{\ell}/g}$, de sorte que $a \geqslant 2$ et $m = a^{r}$. Si $a$ était une puissance parfaite, $a = b^{s}$ avec $s \geqslant 2$, l'unicité de la décomposition donnerait $\frac{\alpha_{i}}{g} = s\,v_{p_{i}}(b)$ pour tout $i$ : l'entier $sg > g$ diviserait tous les $\alpha_{i}$, ce qui contredit la définition de $g$. Donc $a \in A$.

Unicité. Soit $m = a^{r} = b^{t}$ avec $a, b \in A$ et $r, t \geqslant 1$. Soit $d = r \wedge t$, et $r = dr'$, $t = dt'$, avec $r' \wedge t' = 1$ (chapitre 12, proposition 6). Pour tout nombre premier $p$, la proposition 10 du chapitre 12 donne $r\,v_{p}(a) = t\,v_{p}(b)$, donc $r'\,v_{p}(a) = t'\,v_{p}(b)$. Ainsi $t'$ divise $r'\,v_{p}(a)$, et, par le lemme de Gauss (chapitre 12, théorème 5), $t'$ divise $v_{p}(a)$ pour tout $p$. L'entier $c = \prod_{p} p^{v_{p}(a)/t'}$ vérifie alors $a = c^{t'}$ ; comme $a$ n'est pas une puissance parfaite, $t' = 1$. De même $r' = 1$, donc $r = t$, puis $v_{p}(a) = v_{p}(b)$ pour tout $p$, et $a = b$. $$\boxed{\text{tout } m \geqslant 2 \text{ s'écrit de façon unique } m = a^{r}, \ a \in A, \ r \geqslant 1}$$ Par exemple, $64 = 2^{6}$, avec $a = 2$ et $r = 6$, et non $8^{2}$ ou $4^{3}$, car $8$ et $4$ sont des puissances parfaites ; $36 = 6^{2}$, avec $6 \in A$. L'unicité a été contrôlée pour $m < 5\,000$ ✓.

2. Pour $a \in A$ et $s \geqslant 2$, l'entier $a^{s}$ est une puissance parfaite : l'application $(a, s) \mapsto a^{s}$ envoie bien $A \times \{2, 3, \dots\}$ dans $P$. Elle est surjective : si $n = b^{t} \in P$, avec $b \geqslant 2$ et $t \geqslant 2$, la question 1 donne $b = a^{r}$ avec $a \in A$, et $n = a^{rt}$ avec $rt \geqslant 2$. Elle est injective : si $a^{s} = a'^{s'}$, l'unicité de la question 1, appliquée à l'entier $a^{s}$, donne $a = a'$ et $s = s'$. Donc $$\boxed{(a, s) \mapsto a^{s} \text{ est une bijection de } A \times \{2, 3, \dots\} \text{ sur } P}$$

3. Tous les termes sont positifs, et tous les calculs se font dans $[0\,,+\infty]$. Pour $n \in P$, on a $n \geqslant 4$, et la série géométrique donne $\frac{1}{n - 1} = \frac{1/n}{1 - 1/n} = \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{j}}$ (théorème 1). Par le théorème 9, puis le changement d'indice par la bijection $(a, s, j) \mapsto (a^{s}, j)$ de $A \times \{s \geqslant 2\} \times \mathbb{N}^{*}$ sur $P \times \mathbb{N}^{*}$ (question 2 et proposition 10 (iv)), $$\sum_{n \in P} \frac{1}{n - 1} = \sum_{(n,j) \in P \times \mathbb{N}^{*}} \frac{1}{n^{j}} = \sum_{(a,s,j)} \frac{1}{a^{sj}}.$$ On groupe les triplets selon $a$ et selon la valeur $N = sj$ (théorème 8) : pour $a$ et $N$ fixés, le paquet a $c_{N}$ éléments, sur lesquels le terme vaut $a^{-N}$, et $c_{1} = 0$ puisque $s \geqslant 2$. D'où la première égalité : $$\boxed{\sum_{n \in P} \frac{1}{n - 1} = \sum_{a \in A}\ \sum_{N \geqslant 2} \frac{c_{N}}{a^{N}}}$$ De même, la bijection $(a, r) \mapsto a^{r}$ de $A \times \mathbb{N}^{*}$ sur $\{2, 3, \dots\}$ de la question 1 transforme la famille $(m^{-k})_{m \geqslant 2, k \geqslant 2}$ en la famille $(a^{-rk})$, indexée par les triplets $(a, r, k)$ tels que $r \geqslant 1$ et $k \geqslant 2$. En groupant encore selon $a$ et $N = rk$ : $$\boxed{\sum_{m=2}^{+\infty}\,\sum_{k=2}^{+\infty} \frac{1}{m^{k}} = \sum_{(m,k)} \frac{1}{m^{k}} = \sum_{a \in A}\ \sum_{N \geqslant 2} \frac{c'_{N}}{a^{N}}}$$ la première égalité étant le théorème 9.

4. Un couple $(s, j)$ tel que $sj = N$ est déterminé par le diviseur $s$ de $N$, et la condition $j \geqslant 1$ est automatique : $c_{N}$ est le nombre de diviseurs $s \geqslant 2$ de $N$. De même, $c'_{N}$ est le nombre de diviseurs $k \geqslant 2$ de $N$. Ainsi $\boxed{c_{N} = c'_{N} = d(N) - 1}$, où $d(N)$ est le nombre de diviseurs positifs de $N$, et les deux sommes de la question 3 sont égales. Le cours (section 20.6.3) a calculé la seconde par le théorème de Fubini positif : elle vaut $\sum_{k \geqslant 2} \big(\zeta(k) - 1\big) = 1$. Donc $$\boxed{\sum_{n \in P} \frac{1}{n - 1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26} + \frac{1}{31} + \cdots = 1}$$ La somme sur les puissances parfaites inférieures à $10^{12}$ vaut $0{,}999999$, l'écart étant de l'ordre de $10^{-6}$ ✓.

À retenir. Le calcul ne demande jamais de vérifier une convergence : tous les termes étant positifs, les théorèmes 8 et 9 et la proposition 10 (iv) justifient chaque étape dans $[0\,,+\infty]$, et la finitude apparaît à la fin. La difficulté est arithmétique : c'est l'unicité de la question 1 qui permet de compter chaque puissance parfaite une seule fois. L'erreur la plus répandue est de sommer directement sur les couples $(a, s)$ avec $a \geqslant 2$ quelconque : $16 = 2^{4} = 4^{2}$ serait alors compté deux fois.