Exercice 61

Idée. La relation exprime $f(x)$ comme une moyenne pondérée des valeurs $f(x^{n})$, de poids $\frac{1}{2^{n}}$ de somme $1$ dans le premier cas, et de poids $\frac{1}{3^{n}}$ de somme $\frac{1}{2}$ dans le second. On l'écrit au point où $f$ atteint son maximum sur un segment $[0\,,a]$ avec $a < 1$ : les points $x^{n}$ restent dans ce segment et tendent vers $0$.

Dans les deux questions, la série du second membre converge pour toute fonction $f$ continue sur $[0\,,1]$, puisque $f$ y est bornée (chapitre 8, théorème 10) : son terme général est dominé par $\frac{1}{2^{n}}$ (proposition 9).

1. Toute fonction constante égale à $c$ convient, puisque $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{c}{2^{n}} = c$. Réciproquement, soit $f$ une solution et $a \in [0\,,1[$. La fonction $f$ est continue sur le segment $[0\,,a]$ : elle y atteint son maximum $M$ en un point $x_{0}$ (chapitre 8, théorème 10). Pour tout $n \geqslant 1$, $x_{0}^{n} \in [0\,,a]$, donc $f(x_{0}^{n}) \leqslant M$, et $$0 = M - f(x_{0}) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{M}{2^{n}} - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{f(x_{0}^{n})}{2^{n}} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{M - f(x_{0}^{n})}{2^{n}}.$$ Une série convergente de termes positifs de somme nulle a tous ses termes nuls, puisque chaque terme est majoré par la somme (proposition 5) : $f(x_{0}^{n}) = M$ pour tout $n \geqslant 1$. Comme $0 \leqslant x_{0} \leqslant a < 1$, la suite $(x_{0}^{n})$ tend vers $0$, et la continuité de $f$ en $0$ donne $f(0) = M$ (chapitre 8, théorème 7). Le même raisonnement au point où $f$ atteint son minimum $m$ sur $[0\,,a]$ donne $f(0) = m$. Ainsi $m = M$ : $f$ est constante, égale à $f(0)$, sur $[0\,,a]$.

Ceci valant pour tout $a < 1$, $f$ est constante sur $[0\,,1[$, et, par continuité en $1$, $f(1) = f(0)$. $$\boxed{\text{les solutions sont les fonctions constantes}}$$

2. La fonction nulle convient. Soit $f$ une solution. En $x = 0$ et en $x = 1$, les points $x^{n}$ valent $x$, et la relation donne $f(x) = f(x)\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3^{n}} = \frac{1}{2}f(x)$, d'où $f(0) = f(1) = 0$. Soit $a \in [0\,,1[$, et $M = f(x_{0})$ le maximum de $f$ sur $[0\,,a]$. Comme dans la question 1, $$M = f(x_{0}) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{f(x_{0}^{n})}{3^{n}} \leqslant M\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3^{n}} = \frac{M}{2},$$ donc $M \leqslant 0$. De même, le minimum $m$ vérifie $m \geqslant \frac{m}{2}$, donc $m \geqslant 0$. Ainsi $f = 0$ sur $[0\,,a]$ pour tout $a < 1$, et $f(1) = 0$. $$\boxed{\text{la seule solution est la fonction nulle}}$$

Piège. L'erreur la plus répandue est d'appliquer l'argument du maximum sur $[0\,,1]$ tout entier. Si le maximum est atteint en $x_{0} = 1$, les points $x_{0}^{n}$ valent tous $1$ et ne tendent pas vers $0$ : on n'apprend rien, puisque la relation en $1$ se réduit à $f(1) = f(1)$ dans la question 1. C'est pour cela qu'on travaille sur $[0\,,a]$, avec $a < 1$, et qu'on conclut en $1$ par continuité.

À retenir. Seule compte la somme $\sigma$ des poids. Si les poids sont positifs et de somme $1$, la relation est une moyenne, et l'argument du maximum donne les constantes ; si leur somme est dans $[0\,,1[$, il donne $M \leqslant \sigma M$ et $m \geqslant \sigma m$, donc la seule solution nulle. C'est le même mécanisme qu'un principe du maximum : une fonction égale à la moyenne de ses valeurs ne peut pas avoir de maximum strict.