Exercice 14

Soit $s > 1$. La fonction $f : t \mapsto t^{-s}$ est continue, positive et décroissante sur $[1\,,+\infty[$, de primitive $t \mapsto \frac{t^{1 - s}}{1 - s}$, et $\int_{1}^{x} \frac{\mathrm{d} t}{t^{s}} = \frac{1 - x^{1 - s}}{s - 1}$ pour $x \geqslant 1$. La proposition 6 (ii), avec $n_{0} = 1$, donne pour tout $n \geqslant 1$ $$\frac{1 - (n + 1)^{1 - s}}{s - 1} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{s}} \leqslant 1 + \frac{1 - n^{1 - s}}{s - 1}.$$ Comme $1 - s < 0$, les termes $(n + 1)^{1 - s}$ et $n^{1 - s}$ tendent vers $0$, et le passage à la limite dans les inégalités larges (chapitre 7, théorème 5) donne $$\boxed{\frac{1}{s - 1} \leqslant \zeta(s) \leqslant 1 + \frac{1}{s - 1}, \qquad\text{soit}\qquad 1 \leqslant (s - 1)\,\zeta(s) \leqslant s}$$ Le théorème d'encadrement pour les limites de fonctions (chapitre 8, théorème 5), quand $s$ tend vers $1$ par valeurs supérieures, conclut. $$\boxed{\lim_{s \to 1^{+}} (s - 1)\,\zeta(s) = 1, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \zeta(s) \underset{s \to 1^{+}}{\sim} \frac{1}{s - 1}}$$ En particulier, $\zeta(s)$ tend vers $+\infty$ quand $s$ tend vers $1$ par valeurs supérieures : la fonction $\zeta$, définie sur $]1\,,+\infty[$, « garde le souvenir » de la divergence de la série harmonique, qui correspond à $s = 1$. Pour $s = 1{,}01$, on a $\zeta(s) \approx 100{,}578$ et $(s - 1)\zeta(s) \approx 1{,}0058$ ✓.

Pour aller plus loin. L'encadrement montre que $\zeta(s) - \frac{1}{s - 1}$ reste compris entre $0$ et $1$. Numériquement, cette différence vaut $0{,}5844$ pour $s = 1{,}1$ et $0{,}5779$ pour $s = 1{,}01$ : elle tend vers la constante d'Euler $\gamma \approx 0{,}5772$, comme $H_{n} - \ln n$ dans la proposition 7. Nous ne le démontrerons pas ici.